4. Політропічні процеси

Рівняння ізотермічного, ізохорного, ізобарного процесів для ідеального газу ми отримали, виходячи лише з рівняння стану ідеального газу. Рівняння адіабатного і політропного (із постійною С) процесів не можна отримати, використовуючи лише термічне рівняння, оскільки останнє не включає ані кількість теплоти , ані теплоємність С, які визначають ці процеси. Знайдемо ці рівняння, виходячи з першого закону термодинаміки. При політропічному процесі і (для адіабатного процесу ). Тому для політропи з першого начала термодинаміки маємо

. (12)

Звідки, враховуючи (9),

. (13)

Це диференціальне рівняння політропи в змінних і .

Щоб перейти до змінних р і можна із рівняння стану, записаного у вигляді , знайти

і підставити у попереднє рівняння.

Для того, щоб про інтегрувати рівняння (13), необхідно знати не тільки зв'язок між , р і але і вирази для і .

Давайте розглянемо випадок ідеального газу. Введемо позначення

- показник політропи (14)

- показник адіабати (14`)

Для ідеального газу і для широкого інтервалу температур не залежить від температури, тому n і не залежать від температури.

Оскільки , то (13) перепишеться (врахуємо також )

.

Яке інтегрується

- рівняння політропічного процесу (15)

- адіабати. (15`)

Скориставшись рівнянням стану , перепишемо (15) і (15`)

(16)

- рівняння Пуасона (16`)

і з (15`) випливає, що при адіабатичному стисненні газ нагрівається. Це явище використовується в дизелях, де горюча суміш загорається при адіабатичному стиснені (див. 7 стор. 76).

Порівнюючи рівняння Пуассона з рівнянням Бойля-Мариотта , можна переконатися, що адіабата ідеального газу, побудована в координатах p і V, завжди йде крутіше ізотерми.

Це пояснюється тим, що при адіабатному процесі відбувається охолодження газу, в той час як в ізотермічному процесі температура підтримується постійною. Тому при ізотермічному розширенні тиск газу зменшується тільки за рахунок зменшення густини газу, а при адіабатному – за рахунок зменшення густини і середньої кінетичної енергії, тобто температури.

Оскільки адіабата перетинає всі ізотерми даної термодинамічної системи, можливий адіабатичний перехід з однієї ізотерми на іншу, шляхом стискування або розширення газу. А за допомогою ізотермічної зміни об'єму можливий перехід з однієї адіабати на іншу.

1. Загальна характеристика другого начала термодинаміки

Р

2

озглянемо роботу теплової машини. В циліндрі машини розміщено газ або будь-яка інша речовина, яку називають робочим тілом. Будемо вважати, що робочим тілом є газ. На діаграмі стану початковий стан тіла позначимо точкою 1. Приведемо дно циліндра в тепловий контакт з нагрівачем - тілом, температура якого вище температури газу в циліндрі. Газ почне нагріватись і розширюватись – крива 1а2. Робоче тіло отримає від нагрівача кількість теплоти і виконає роботу . З першого начала термодинаміки

. (1)

Щоб роботу можна було виконувати циклічно, як це має місце в теплових машинах, необхідно стиснути газ. Але це необхідно зробити так, щоб робота , яка піде на стискування, була менша за . Для цього приведемо дно циліндра в тепловий контакт з холодильником – тілом, температура якого нижча за температуру газу, - і стискування будемо проводити шляхом 2в1. Газ повернеться у вихідний стан 1. При цьому він віддасть холодильнику кількість теплоти . Перше начало для процесу 2в1

. (2)

Для кругового процесу, враховуючи (1) і (2), маємо

. (3)

Отже теплова машина здійснила круговий процес, в результаті якого нагрівач віддав кількість теплоти , холодильник отримав кількість теплоти , різниця пішла на виконання роботи .

Давайте поставимо питання: чи можна побудувати машину яка б циклічно виконувала роботу, не віддаючи тепла холодильнику ? Така машина могла б перетворювати всю теплоту теплового резервуару. Існування або можливість створення такої машини не протирічить першому закону термодинаміки тобто закону збереження енергії. Але можливість створення такої машини мала б грандіозні наслідки, оскільки з її можливістю вдавалось би виконувати роботу за рахунок невичерпаних джерел енергії – океанів і морів, атмосфери і надр Землі. Таку машину Вільгельм Освальд назвав вічним двигуном другого роду, на відміну від вічного двигуна першого роду, що створює роботу з нічого.

Дослідні дані говорять про неможливість створення вічного двигуна другого роду, тому положення про неможливість створення вічного двигуна і було сформульовано як закон природи; в термодинаміці цей закон має назву другого закону термодинаміки.

Вільям Томсон (лорд Кельвін) в 1951 р. дав наступне формулювання другого начала термодинаміки: «Неможливий круговий процес, єдиним результатом якого було б виконання роботи за рахунок охолодження теплового резервуару».

Тепловий резервуар – це тіло або система тіл, що знаходяться в стані термодинамічної рівноваги і мають запас внутрішньої енергії. Тепловий резервуар сам роботи не виконує, він тільки передає внутрішню енергію іншому тілу.

Система, що виконує роботу за рахунок внутрішньої енергії теплового резервуару, називається робочим тілом.

Згідно Томсону, неможливий круговий процес, єдиним результатом якого було б виконання роботи за рахунок зменшення внутрішньої енергії теплового резервуара.

Якщо конкретизувати вид роботи, то можна отримати і інші формулювання другого закону термодинаміки. Одне з таких формулювань належить Планку:

«Неможливо створити періодично діючу машину, єдиним результатом якої було б піднімання грузу за рахунок охолодження теплового резервуару».

Ключовим у формуліровці Планка є слово «періодично», а у Томсона – «круговий». Приклад Планка для некругового процесу, в якому груз піднімається за рахунок внутрішньої енергії теплового резервуару. В циліндрі під поршнем знаходиться ідеальний газ. На поршні груз з вагою . Приведемо дно циліндру в тепловий контакт з достатньо великим тепловим резервуаром, температура якого перевищує температуру газу на нескінченно малу величину. Почнемо нескінченно малими порціями розвантажувати поршень. Газ почне ізотермічно розширюватись, виконуючи роботу по підніманню грузу. З першого начала .

Але внутрішня енергія ідеального газу залежить лише від температури, яка в цьому процесі не змінюється, звідки

. (4)

Отже кількість теплоти , отримана від теплового резервуару, повністю перейшла в роботу по підніманню груза. Це не протирічить другому закону термодинаміки, оскільки процес не круговий. Протиріччя виникло б , якщо б нам вдалось будь-яким чином повернути поршень в початкове положення, при цьому не змінивши стан інших тіл, окрім стану теплового резервуару, від якого перейшла частина енергії.

Формуліровки Планка та Томсона відрізняються лише за формою. Будемо називати уявний процес, єдиним результатом якого є виконання роботи за рахунок охолодження теплового резервуару, процесом Томсона-Планка. Процес Томсона-Планка неможливий.

Інша формуліровка другого закону термодинаміки належить Клаузісу: «Теплота не може самовільно переходити від тіл менш нагрітих до тіл більш нагрітих». Під теплотою слід розуміти внутрішню енергію.

Не слід думати, що мова йде лише про те, що при тепловому контакті теплота переходить від більш нагрітого до тіла менш нагрітого. Це твердження – лише визначення більш нагрітого і менш нагрітого. Зміст постулату Клаузіса полягає в тому, що неможливо будь-яким чином забрати тепло від менш нагрітого тіла і цілком передати його більш нагрітому так, щоб в інших тілах не відбулось жодних змін. Уявний процес, в якому така передача можлива називають процесом Клаузіуса. Отже, неможливий процес Клаузіуса.

Постулат Клаузіуса не стверджує, що передача тепла від менш нагрітого до більш нагрітого взагалі неможлива. Вона неможлива за умов, що в інших тілах не відбувається змін, тому в формуліровці Клаузіуса використовується слово «самовільно».

В холодильних машинах тепло від менш нагрітого тіла передається більш нагрітому. Але передача відбувається не самовільно, а за рахунок роботи електродвигуна. Електричний холодильник перестає працювати при відключені його від електроживлення. Теплова машина на приведеному вище рисунку може працювати як холодильна машина. Для цього розширення робочої речовини необхідно проводити за кривою 1в2, а стискування за кривою 2а1, що лежить вище. Розширюючись машина буде брати від холодильника тепло , при стискувані за 2а1 вона передасть нагрівачу тепло . При цьому над машиною буде виконана позитивна робота . Виконання цієї роботи і є компенсуючим процесом.

Самостійно показати

1. З неможливості процесу Томсона-Планка випливає неможливість процесу Клаузіуса.

2. Із неможливості процесу Клаузіуса випливає неможливість процесу Томсона-Планка.

Узагальнимо:

Відповідно до першого закону термодинаміки, енергія не може бути створена або знищена; вона передається від однієї системи до іншої і перетворюється з однієї форми в іншу. Процеси, що порушують перший закон термодинаміки, ніколи не спостерігались. На рис.1 зображені пристрої, заборонені першим законом термодинаміки.

Рисунок 1 а) – вічний двигун першого роду, що виконує роботу без споживання енергії ззовні; б) – теплова машина з коефіцієнтом корисної дії η > 1

На рис. 2 зображені процеси, що забороняються другим законом, але не забороняються першим законом термодинаміки. Ці процеси відповідають двом формулюванням другого закону термодинаміки.

Рисунок 2 – а) – вічний двигун другого роду; б) – самовільний перехід тепла від холодного тіла до більш теплого (ідеальна холодильна машина)

З принципу Кельвіна випливає, що в циклічному процесі перетворення теплоти в роботу повинні брати участь три тіла: нагрівник, робоче тіло, холодильник.

Пристрої, призначені для одержання роботи за рахунок теплової енергії, називаються тепловими машинами. Схематично робота будь-якої теплової машини показана на рис. 3.

Рисунок 4 – Енергетична схема роботи реальної теплової машини

Температура нагрівача більше температури холодильника Т₁>Т₂. В робочому тілі за рахунок процесів, що відбуваються в ньому, частина тепла Q₁⁽⁺⁾ перетворюється в роботу А, а залишок Q₂^(-) віддається холодильникові. При цьому робота, що виконується за цикл (графічно зображується як площа, обмежена кривою циклу) А= Q₁⁽⁺⁾+Q₂^(-) = Q₁-Q₂