Вопрос 2. Уравнения движения.

У равнения получим, применяя к выделенной частице (рис. 10.1) второй закон Ньютона, согласно которому произведение массы на ускорение равняется сумме внешних сил, действующих на частицу.

.

Масса этой частицы равна

.

Ускорения в направлении осей, соответственно равны

и .

Силы вдоль оси Ох – это силы давления и силы трения.

а) Силы давления, приложенные к левой и правой граням, направлены внутрь рассматриваемого объема и в сумме дают

. (10.3)

б) Силы трения действуют на нижнюю и верхнюю грани и противоположны.

. (10.4)

в) Суммарная сила вдоль оси Ох.

. (10.5)

Силы вдоль оси Оу.

Согласно первому предположению силу трения вдоль Оу можно не учитывать.

Силы давления, действующие на верхнюю и нижнюю грань дают сумму

.

Запишем теперь второй закон Ньютона для каждой из проекций

,

.

Сократим на и уравнения примут следующий вид

(10.6)

Левые части уравнений представляют собой полные дифференциалы по времени. Выразим их через производные по х и у, получим:

, (10.7)

. (10.8)

В области ПС левая часть второго уравнения оказывается малой величиной, т.к. и малы.

Поэтому из этого уравнения следует, что , то есть давление поперек ПС не меняется и равно давлению на границе ПС . Это один из важных результатов нашего исследования, которое для тонкого ПС хорошо подтверждается экспериментально. Для пластинки , поэтому в первом уравнении член исчезает и уравнение принимает вид:

. (10.9)

Вопрос 3. Уравнения энергии.

Чтобы записать уравнение энергии для ПС, поступим следующим образом: рассмотрим уравнение энергии для невязкой нетеплопроводной среды и внесем в него поправки, учитывающие вязкость и теплопроводность

. (10.10)

Согласно этому уравнению сумма кинетической энергии и энтальпии для какой-либо частицы невязкой и нетеплопроводной среды остается постоянной.

Это значит, что изменение этой величины может происходить за счет работы силы трения и тепла, подведенного к частице, т.е. в правой части необходимо добавить работу сил трения и подвод тепла.

Запишем теперь это сказанное для нашей выделенной частицы ПС.

Работа за единицу времени силы трения, приложенной к ее нижней грани равна . Знак «–» указывают на то, что направление силы и перемещения противоположны.

Работа за единицу времени силы трения, приложенной к верхней грани равна

.

В сумме они дают:

.

Теперь рассмотрим изменения энергии за счет тепла.

Пусть – удельный тепловой поток, направленный вдоль оси Оу. Тогда через нижнюю грань подводится к частице тепловой поток .

Через верхнюю грань отводится тепловой поток .

Суммарный поток, подведенный к частице равен разности первого и второго:

.

Сумма кинетической энергии и энтальпии для рассматриваемой частицы равна

.

На основании высказанного выше запишем:

.

Так как масса частицы не меняется со временем, то ее можно вынести из под знака произведения. Разделим на и получим уравнение энергии в следующим виде:

. (10.11)

Поскольку в ПС , то окончательно получим:

. (10.12)

Движение среды в ПС, как и во всем потоке, определяется вектором скорости и двумя термодинамическими параметрами, например, p и T. Но , то есть является заданной. Следовательно, остается три неизвестные функции

, и .

Для определения этих функций имеем три уравнения:

,

,

.

Однако эта система все же остается незамкнутой, поскольку содержит еще неизвестные функции:

, , и .

Первые две функции из них являются параметрами состояния и связаны с р и Т термодинамическими соотношениями.

А для напряжения трения и теплового потока необходимо иметь дополнительные соотношения, связывающие их с параметрами потока. Только тогда можно решить систему.

Эти уравнения получены для установившегося движения и поэтому справедливы только для ламинарного ПС. Однако, как показывают исследования, для несжимаемой среды уравнения, связывающие осредненные параметры турбулентного потока, будут такими же.

Нужно отметить следующие, если в области ПС и , то первые два уравнения системы (уравнение неразрывности и уравнение движения), не содержат температуры и могут рассматриваться как система уравнений для определения и независимо от уравнения энергии, которое после того, как и найдены, служит для определения температуры в ПС.

В этом случае расчет напряжения трения может быть проведен без решения задачи о теплообмене.