Вопрос 1. Постановка задачи.

В задачах, где определяется напряжение трения на стенке и исследуется теплоотдача от газа к обтекаемой поверхности, вязкостью и теплопроводностью среды пренебрегать нельзя.

Более того, эти свойства являются определяющими в формировании потока вблизи стенки. Поэтому система дифференциальных уравнений, полученная нами для невязкой и нетеплопроводной среды, для этих задач непригодно и необходимо рассматривать более общие уравнения.

Однако общая система уравнений, записанная с учетом трения и теплообмена между частицами очень сложна. Для решения же многих прикладных задач достаточно знать только распределение давления в потоке. Поле давлений можно определить с достаточной точностью, оставаясь в рамках модели невязкой, не теплопроводной среды. Поэтому возникла идея выделения из общего потока пограничный слой (ПС). Такое условное деление потока было предложено Прандтлем в 1904 году.

Внутри тонкого ПС система уравнений вязкой теплопроводной среды может быть упрощена, так как некоторые члены ее оказываются малыми по сравнению с другими и могут быть отброшены. Получающаяся в результате таких упрощений система уравнений носит название уравнений пограничного слоя или уравнений Прандтля.

Согласно определению ПС, параметры потока на его границе совпадают с параметрами невязкой среды. В теории ПС они приравниваются к параметрам невязкой среды на стенке. Поэтому рассмотрению движения среды в ПС должно предшествовать изучения движения невязкой среды около той же стенки при тех же начальных параметрах. Только тогда параметры потока на границе ПС становятся известными.

Для пластинки, которую мы будем рассматривать, обтекаемой потоком в продольном направлении, эти параметры постоянны и равны параметрам набегающего потока, то есть для пластинки не требуется предварительного рассмотрения невязкой среды.

Итак, предположим, что среда, вязкая и теплопроводная, движется вдоль полубесконечной горизонтальной пластинки. Движение в этом случае будет плоскопараллельным, поэтому достаточно рассмотреть его в одной из плоскостей, перпендикулярных пластинке и параллельной вектору скорости набегающего потока.

Введем в этой плоскости систему координат хОу. Начало координат поместим в передней кромке пластинки. Ось Ох направим вдоль пластинки, ось Оу – перпендикулярна пластинке. Толщина ПС δ(х) меняется вдоль пластинки, и, υ – составляющие скорости по осям координат.

Примем следующие допущения:

1. Будем учитывать только силы, действующие вдоль площадок параллельных пластинке, при выводе уравнений движений.

2. При выводе уравнения энергии предположим, что только тепловой поток, перпендикулярный пластинке, отличен от нуля.

3. υ<<и, так что суммарная скорость .

4. Изменение составляющих скорости и вдоль осей координат также имеет различный порядок, а именно:

мала, так же как и ,

и , имеют порядок ,

велика по сравнению с другими, так как и меняется от нуля на поверхности пластинки до скорости набегающего потока при . Поэтому для малых велика.

Имея в виду эти особенности движения среды в ПС, запишем законы сохранения для частицы. Эта частица имеет форму параллелепипеда с ребрами параллельными осям координат.

Уравнение неразрывности, выражающее закон сохранения массы, при учете вязкости и теплопроводности сохраняет тот же вид, что и для невязкой нетеплопроводной среды.

Для плоскопараллельного движения

. (10.1)

Для случая

. (10.2)

Теперь перейдем к выводу уравнений движения.