Примеры для самостоятельного решения
Решить
уравнения: 1.
;
2.
.
Ответы:
1.
,
2.
.
4.5. Неоднородные линейные уравнения с постоянными коэффициентами
Рассмотрим неоднородное линейное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами
, (4.19)
где и – действительные числа. Частное решение уравнения (4.19) можно найти методом, рассмотренным в п.4.4.
Если правая часть
НЛДУ (4.19) имеет “специальный вид”, то
частное решение
можно найти методом неопределенных
коэффициентов. Суть метода состоит в
следующем. Частное решение записывают
в виде, похожем на функцию
,
но с неопределенными коэффициентами;
затем подставляют в уравнение и определяют
значения коэффициентов.
Рассмотрим два случая.
Случай I.
Правая часть уравнения (4.19) имеет вид:
,
где
– многочлен,
.
В этом случае частное решение
уравнения можно искать в виде
, (4.20)
где
– многочлен той же степени, что и
,
но с неопределенными коэффициентами,
– число, равное кратности
как корня характеристического
уравнения
.
Чтобы найти коэффициенты многочлена
,
надо подставить выражение
в уравнение (4.19).
Пример 4.7.
Решить
уравнение
.
Решение.
Общее решение
НЛДУ имеет вид:
.
Найдем общее решение
однородного
уравнения
.
Характеристическое уравнение
имеет корни
,
.
Следовательно,
.
Найдем частное
решение
НЛДУ. Правая часть уравнения имеет вид
.
Так как
не является корнем характеристического
уравнения, а
– многочлен нулевой степени, то по
формуле (4.20) частное решение ищем в виде
.
Тогда
,
.
Подставляя
в исходное уравнение, получаем:
,
или
,
откуда
.
Следовательно,
частным решением является функция
,
а общим решением – функция
.
Пример 4.8.
Найти решение
уравнения
,
удовлетворяющее условиям
,
.
Решение.
Общее решение
неоднородного уравнения имеет вид:
.
Находим решение
однородного уравнения
.
Характеристическое уравнение
имеет корни
.
Следовательно, общее решение ОЛДУ будет
.
Найдем частное
решение
НЛДУ. Правая часть уравнения
.
Число
есть простой корень характеристического
уравнения (
).
Следовательно, по формуле (4.20) частное
решение будем искать в виде
.
Тогда
,
.
Подставляя
в исходное уравнение, будем иметь:
,
или
.
Приравнивая
коэффициенты при одинаковых степенях
,
получим:
,
,
откуда
.
Поэтому частное решение данного уравнения
имеет вид:
.
Общим решением является функция
.
Подставляя найденное
решение в начальные условия
,
,
получим
систему
уравнений:
.
Откуда
.
Следовательно,
искомое решение, удовлетворяющее
начальным условиям, есть
.
Случай
II. Пусть
правая часть ДУ (4.19) имеет вид:
,
где
– заданные числа,
.
В этом случае частное решение
неоднородного ДУ можно найти в виде
(4.21)
где
и
– неопределённые коэффициенты,
– число, равное кратности
,
как корня характеристического уравнения
.
Замечания:
Формула (4.21) частного решения не меняется, если в правой части
уравнения (4.19)
выражение содержит только
или только
,
т.е. или
или
.
Если правая часть ДУ (4.19) есть сумма функций вида I и II, то для нахождения частного решения следует применить теорему 4.6.
Пример 4.9.
Решить уравнение
.
Решение.
Общее решение НЛДУ имеет вид:
.
Найдем общее решение однородного
уравнения
.
Характеристическое уравнение
имеет корни
Следовательно,
.
Найдём частное
решение
.
Функция в правой части уравнения имеет
вид:
Так как
не совпадает с корнем характеристического
уравнения, то по формуле (4.22) частное
решение будем искать в виде
.
Тогда
.
Подставляя
,
,
в исходное уравнение, получим:
или
.
Отсюда имеем:
Следовательно,
и частное решение есть функция
.
Таким образом, искомое общее решение
НЛДУ есть
.
Пример 4.10.
Решить уравнение
.
Решение.
Характеристическое уравнение
имеет корни
.
Следовательно, общим решением
соответствующего однородного уравнения
является функция
.
Правая часть НЛДУ имеет вид:
.
Здесь
.
Это число совпадает с одним корнем
характеристического уравнения. Поэтому
по формуле (4.21) частное решение будем
искать в виде
(в формуле (4.21) взять
).
Найдём
.
Подставив
,
,
в исходное уравнение, получим:
,
или
.
Отсюда
,
или
,
.
Следовательно,
частным решением уравнения является
функция
,
а общим решением
.
Пример 4.11. Написать частное решение с неопределенными коэффициентами для дифференциальных уравнений:
а)
,
б)
,
в)
.
Решение.
а). Характеристическое уравнение
имеет корни
.
Правая часть уравнения представляет
собой сумму двух функций
и
.
Согласно теореме 4.6, частным решением
исходного уравнения будет функция
,
где
и
есть частные решения неоднородных
уравнений
и
,
соответственно.
Функция
имеет вид:
,
поэтому решение
,
согласно формуле (4.20), ищем в виде
.
Так как
есть простой корень характеристического
уравнения, то
и
.
Функция
имеет тот же вид:
.
Так как
не является корнем характеристического
уравнения, то в формуле (4.20) надо взять
.
Тогда
или
и частное решение исходного уравнения
будет иметь вид:
.
б). Корни
характеристического уравнения
есть
.
Рассмотрим два
уравнения (см. теорему 4.6):
и
.
Функция
,
поэтому решение
ищем в виде
(формула (4.20)). Так как
− двукратный корень характеристического
уравнения, то
.
Значит
.
Функция
или
,
следовательно, решение второго уравнения
согласно формуле (4.21) будем искать в
виде
.
Так как
,
,
то
не является корнем характеристического
уравнения. Поэтому
и
.
Частным решением исходного уравнения
будет функция
.
в). Характеристическое
уравнение
имеет корни
.
Правая часть
данного ДУ содержит
и
,
которые зависят от разных аргументов.
Рассмотрим уравнения
и
.
Функция в правой части первого уравнения
имеет вид:
.
Согласно формуле (4.21) частное решение
ищем в виде
.
Так как
не является корнем характеристического
уравнения, то
и
.
Функция
или
.
Учитывая, что
не является корнем характеристического
уравнения, в формуле (4.21) полагаем
и решение
запишем в виде
.
Таким образом, общий вид частного решения
исходного уравнения есть
.