Примеры для самостоятельного решения

Решить уравнения: 1. , 2. , 3. ,

4. , 5. , 6. .

Найти частное решение уравнений:

7. , 8.

Ответы: 1. , 2. , 3. ,

4. 5. ,

6. , 7. , 8. .

4.3. Неоднородные линейные уравнения

Рассмотрим неоднородное линейное уравнение (НЛДУ) второго порядка

, (4.12)

где – непрерывные на интервале функции. Уравнение

, (4.13)

левая часть которого совпадает с левой частью уравнения (4.12), называется соответствующим ему однородным уравнением.

Т еорема 4.5 (о структуре общего решения НЛДУ).

Общее решение неоднородного уравнения есть сумма его частного решения и общего решения соответствующего однородного уравнения .

Доказательство. Пусть − любое частное решение уравнения (4.12), − общее решение однородного уравнения (4.13). Докажем, что функция будет общим решением НЛДУ (4.12). Заметим, что , где − фундаментальная система решений уравнения (4.13). Подставим в уравнение (4.12), а в уравнение (4.13). Получим

и .

Складывая эти равенства, получим , т.е. есть решение НЛДУ. Это решение зависит от двух произвольных постоянных, т.к. .

Докажем теперь, что каковы бы ни были начальные условия

, , (4.14)

можно подобрать единственным образом произвольные постоянные и , входящие в функцию так, чтобы частное решение удовлетворяло заданным начальным условиям.

Подставив функцию в начальные условия (4.14), получим систему уравнений относительно неизвестных и :

или

Определитель этой системы отличен от нуля (см. теорему 4.3). Следовательно, система уравнений имеет единственное решение .

Решение является частным решением уравнения (4.12), удовлетворяющим заданным начальным условиям. Теорема доказана.

4.4. Метод вариации произвольных постоянных

Рассмотрим общий метод нахождения частных решений НЛДУ (4.12). Его общее решение определяется формулой (см. п. 4.3). Частное решение уравнения (4.12) можно найти методом вариации произвольных постоянных.

Пусть − общее решение однородного уравнения (4.13), где − линейно независимые частные решения ОЛДУ. Решение НЛДУ будем искать в аналогичном виде, заменив константы на функции , т.е. в виде

, (4.15)

где – неизвестные пока функции. Найдем производную

.

Подберём функции так, чтобы они удовлетворяли условию

. (4.16)

Тогда

Подставляя выражения для , , в уравнение (4.12), получим:

или

В последнем равенстве выражения в скобках тождественно равны нулю, т.к. и – решения однородного уравнения (4.13), поэтому равенство примет вид

(4.17)

Таким образом, функция будет решением НЛДУ (4.12), если функции удовлетворяют системе уравнений (4.16) и (4.17):

(4.18)

Так как определитель этой системы является определителем Вронского для линейно независимых решений , то он не равен нулю; следовательно, система имеет единственное решение: . Интегрируя эти уравнения, находим , а затем решение уравнения (4.12).

Пример 4.6. Найти решение уравнения .

Решение. Найдем общее решение соответствующего однородного уравнения . Имеем . Фундаментальная система решений . Общее решение ОЛДУ .

Решение неоднородного уравнения будем искать в виде (4.15): . Для нахождения составим систему уравнений вида (4.18):

Умножив первое уравнение системы на , второе ─ на и сложив, получим

, или .

Подставляя найденное выражение в первое уравнение системы, находим . Тогда ,

и общее решение исходного уравнения примет вид

или

, где и - произвольные постоянные.

Обратите внимание, что в скобке − общее решение ОЛДУ, а второе слагаемое – частное решение НЛДУ.

Т еорема 4.6 (о суперпозиции решений). Если правая часть уравнения есть сумма двух функций: , а и – частные решения уравнений и соответственно, то функция является частным решением данного уравнения.

Доказательство. Подставим функцию в уравнение (4.12):

Теорема доказана.