Однородные линейные уравнения с постоянными коэффициентами
Рассмотрим однородное линейное уравнение (ОЛДУ) второго порядка с постоянными коэффициентами
,
(4.7)
где
и
- постоянные действительные числа.
Чтобы найти общее решение уравнения (4.7), достаточно найти два его частных решения, образующих фундаментальную систему (см. теорему 4.4).
Будем искать
частное решение в виде
,
где
;
тогда
,
.
Подставляя выражения для у,
,
в уравнение (4.7), получаем:
,
,
или
.
(4.8)
Следовательно,
если
будет удовлетворять уравнению (4.8), то
функция
будет решением уравнения (4.7). Уравнение
(4.8) называется характеристическим
уравнением
ДУ (4.7). Для его составления надо в
уравнении (4.7) заменить
,
,
соответственно на
.
Характеристическое
уравнение есть квадратное уравнение,
и
− его корни. Возможны следующие три
случая.
Случай 1. Корни
характеристического уравнения
действительны и различны:
.
В этом случае
частными решениями уравнения (4.7) будут
функции
и
.
Они образуют фундаментальную систему,
т.к.
.
Следовательно, общее решение однородного уравнения (4.7) согласно формуле (4.6) имеет вид:
(4.9)
Пример
4.1. Решить
уравнение
.
Решение.
Составим характеристическое уравнение:
,
его корни
.
Следовательно, общее решение данного
уравнения, согласно
формуле
(4.9), имеет вид:
,
где
− произвольные постоянные.
Случай 2. Корни
характеристического уравнения
действительные и равные:
.
В этом случае имеем только одно частное
решение
.
Покажем, что функция
также является решением уравнения
(4.7).
Подставим
в левую часть уравнения (4.7). Будем иметь:
Так
как
– корень уравнения (4.8), то
.
По теореме Виета
,
.
Отсюда
,
т.е.
есть решение уравнения (4.7).
Частные решения
уравнения
образуют фундаментальную систему
решений, т.к.
.
Поэтому общее решение ОЛДУ (4.7) имеет
вид:
.
(4.10)
Пример
4.2.
Решить уравнение
.
Решение.
Характеристическое уравнение
имеет два
корня
.
Общее решение исходного уравнения
согласно формуле (4.10) запишется в виде:
.
Случай 3. Корни
характеристического уравнения комплексно
сопряжённые:
,
.
В этом случае
частными решениями уравнения (4.7) будут
комплексные функции
.
Используя
формулы Эйлера
, 
,
преобразуем полученные решения:
Для отыскания
действительных решений однородного
уравнения составим две линейные
комбинации решений
и
:
,
.
Согласно теореме
4.1 функции
и
являются решениями ОЛДУ (4.7). Эти решения
образуют фундаментальную систему, т.к.
.
Поэтому общее решение уравнения (4.7) в
случае комплексных корней характеристического
уравнения запишется в виде
(4.11)
Пример
4.3. Решить
уравнение
.
Решение.
Характеристическое
уравнение
имеет
комплексные корни
.
По формуле (4.11) записываем общее решение
исходного уравнения
.
Пример 4.4.
Найти частное
решение уравнения
,
удовлетворяющее условиям
,
.
Решение.
Корни
характеристического уравнения
есть
,
.
Общее решение уравнения имеет вид
или
(формула (4.9)). Тогда
.
Подставляя
,
,
в выражения для
и
,
получаем:
.
Отсюда
,
.
Таким образом, искомое частное решение
уравнения есть функция
.
Замечание. Метод построения фундаментальной системы решений, рассмотренный нами для ОЛДУ второго порядка с постоянными коэффициентами, распространяется и на уравнения того же типа, но более высокого порядка.
Покажем это на примере.
Пример
4.5.
Найти общее решение уравнения
.
Решение.
Характеристическое
уравнение
имеет корни
,
,
.
Фундаментальная система решений:
,
,
,
.
Следовательно, функция
− общее решение исходного уравнения.