Примеры для самостоятельного решения
Найти общее решение (общий интеграл) дифференциальных уравнений:
1.
2.
3.
4.
Найти частное решение (частный интеграл) дифференциальных уравнений:
5.
.
6.
.
Ответы:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
4. Линейные дифференциальные уравнения
Дифференциальное
уравнение n-го
порядка называется линейным,
если оно линейно относительно искомой
функции
и её производных
,
,
…,
,
т.е. имеет вид
,
(4.1)
где
– заданные функции.
Если
,
то уравнение (4.1) называется линейным
однородным
уравнением; если
,
то уравнение (4.1) называется неоднородным.
В дальнейшем будем
предполагать, что функции
непрерывны (на некотором интервале
).
При этих условиях справедлива теорема
существования и единственности решения
дифференциального уравнения (см. теорему
3.1).
Однородные линейные уравнения
Рассмотрим однородное линейное дифференциальное уравнение (ОЛДУ) второго порядка:
. (4.2)
Установим некоторые основные свойства решений однородных уравнений.
Т
еорема
4.1. Если
функции
и
являются частными решениями уравнения
,
то
функция
,
где
−
произвольные постоянные, есть также
решение этого уравнения.
Доказательство.
Так как
и
– решения уравнения, то
и
.
Подставим функцию
в уравнение (4.2) и, принимая во внимание
эти тождества, получим:
,
т.е. функция есть решение уравнения.
Итак, функция
удовлетворяет уравнению (4.2) при любых
значениях постоянных
.
Является ли функция
общим решением однородного уравнения?
Для ответа на этот вопрос введем понятия линейной независимости и линейной зависимости функций.
Две функции
называются линейно
независимыми
на интервале
,
если их отношение на этом интервале не
является постоянным, т.е. если
.
В противном случае функции называются
линейно
зависимыми.
Например, функции
и
− линейно зависимы:
;
функции
и
− линейно независимы:
;
функции
и
также линейно независимы:
.
Пусть функции
и
дифференцируемы на интервале
.
Определитель
(4.3)
называется определителем Вронского или вронскианом данных функций.
Т
еорема
4.2.
Если функции
линейно зависимы на интервале
,
то определитель Вронского на этом
интервале тождественно равен нулю.
Доказательство.
Так как функции
линейно зависимы, то
на
или
.
Тогда
.
Т
еорема
4.3. Если
частные решения
уравнения
линейно независимы на
,
то определитель Вронского ни в одной
точке этого интервала не обращается в
нуль.
Доказательство не приводим.
Из теорем 4.2 и 4.3 следует, что вронскиан не равен нулю ни в одной точке интервала тогда и только тогда, когда частные решения линейно независимы.
Совокупность двух линейно независимых на интервале частных решений ОЛДУ второго порядка называется фундаментальной системой решений этого уравнения.
Следующая теорема отвечает на вопрос: при каких условиях функция будет общим решением уравнения (4.2)?
Т
еорема
4.4 (о структуре общего решения ОЛДУ).
Если два
частных решения
ОЛДУ
образуют на интервале
фундаментальную систему, то общим
решением этого уравнения будет функция
,
где
─ произвольные постоянные.
Доказательство. Согласно теореме 4.1 функция есть решение уравнения (4.2). Докажем теперь, что каковы бы ни были допустимые начальные условия
, (4.4)
можно так подобрать единственные значения произвольных постоянных , чтобы соответствующее частное решение удовлетворяло начальным условиям.
Подставив решение в начальные условия (4.4), получим
систему уравнений относительно неизвестных :
(4.5)
Определитель этой системы
есть
вронскиан функций
,
вычисленный в точке
:
.
Так как решения
линейно независимы, то согласно теореме
4.3 вронскиан ни в одной точке интервала
не обращается в нуль. Следовательно,
система уравнений (4.5) имеет единственное
решение
.
Частное решение
удовлетворяет начальным условиям (4.4).
Таким образом доказано, что функция
(4.6)
есть общее решение ОЛДУ.