3. Дифференциальные уравнения второго порядка
3.1. Основные понятия
Дифференциальное уравнение второго порядка записывается в виде
(3.1)
или, если это возможно, в виде, разрешенном относительно второй производной
.
(3.2)
Например, уравнение
есть простейшее уравнение второго
порядка. Проинтегрировав, получим
.
Ещё раз проинтегрируем:
− общее решение. Для отыскания констант
нужны два условия. Их
задают в виде
,
и называют начальными
условиями.
Общим решением
дифференциального уравнения второго
порядка называется функция
,
где
– произвольные постоянные, удовлетворяющая
условиям:
а) функция
есть решение
дифференциального уравнения при любых
значениях постоянных
;
б) каковы бы ни были допустимые начальные условия
, 
,
(3.3)
можно найти такие
единственные значения постоянных
и
,
что функция
удовлетворяет данным начальным условиям.
Частным решением дифференциального уравнения второго порядка называется любая функция, полученная из общего решения при конкретных значениях постоянных .
Задача нахождения решения дифференциального уравнения (3.1), удовлетворяющего заданным начальным условиям (3.3), называется задачей Коши.
Т
еорема
3.1 (существования и единственности
решения задачи Коши).
Если в уравнении
функция
и её частные производные
и
непрерывны
в некоторой области, содержащей точку
,
то в этой области существует единственное
решение
уравнения
,
удовлетворяющее начальным условиям
,
.
Доказательство не приводим.
Аналогичные понятия
и определения имеют место для
дифференциальных уравнений
–го
порядка.
Далее рассмотрим отдельные виды дифференциальных уравнений высших порядков.
3.2. Уравнения, допускающие понижение порядка
Одним из методов решения дифференциального уравнения второго порядка является метод понижения порядка. Суть метода состоит в том, что с помощью замены переменной данное дифференциальное уравнение сводится к уравнению первого порядка. Рассмотрим три типа уравнений второго порядка, допускающих понижение порядка.
Уравнение вида
(3.4)
не содержит искомую функцию и её производную. Порядок уравнения понижается путем последовательного интегрирования.
Так
как
,
то дифференциальное уравнение (3.4) можно
записать в
виде
.
Интегрируя,
получаем:
или
.
Последнее уравнение есть дифференциальное
уравнение первого порядка. Решаем его:
, 
,
− общее решение
уравнения (3.4).
Если дано уравнение
,
то, проинтегрировав его последовательно
раз, получим общее решение.
Пример
3.1. Решить
уравнение
.
Решение. Последовательно интегрируя три раза данное уравнение, получим:
,
,
– общее решение
уравнения.
Пример 3.2.
Найти частное
решение уравнения
,
удовлетворяющее условиям
,
.
Решение. Интегрируем уравнение
.
Подставляя
,
в это равенство, находим
:
,
.
Отсюда
.
Находим
из начальных
условий:
,
.
Таким образом,
− частное решение данного уравнения.
Рассмотрим уравнение вида
,
(3.5)
которое не содержит
явно искомую функцию
.
Порядок уравнения понижается заменой
,
где
− новая неизвестная фунция. Тогда
и дифференциальное уравнение (3.5)
принимает вид
,
т.е. получаем уравнение первого порядка
относительно неизвестной функции
.
Проинтегрировав это уравнение, найдем
его общее решение
.
Так как
,
то для нахождения искомой функции
получим уравнение
.
Решив это
уравнение первого порядка, получим
общее решение исходного уравнения
.
Пример 3.3.
Найти общее решение уравнения
.
Решение. В уравнении отсутствует явно функция , т.е. оно имеет вид (3.5).
Поэтому произведём
замену
,
.
Получим уравнение
,
или
.
Разделяя
переменные, будем иметь
.
Интегрируя, получаем:
,
или
.
Так как
,
то
,
или
.
Разделим переменные:
.
Интегрируя, получим общее решение
.
Пример
3.4.
Найти общее решение уравнения
.
Решение.
Положив
,
,
получим
− линейное дифференциальное уравнение
первого порядка. Решим его заменой
:
,
или
.
Функцию находим из уравнения :
,
,
.
Для нахождения
функции
получаем уравнение
или
.
Интегрируя, имеем
.
Следовательно,
или
.
Заменим
на
:
.
Отсюда
есть общее решение исходного уравнения.
Рассмотрим уравнение вида
,
(3.6)
которое не содержит явно независимую переменную .
Для понижения
порядка используется снова подстановка
,
но
.
Найдем
,
учитывая,
что
− сложная функция:
,
т.е.
.
Подставляя выражения
и
в уравнение
(3.6), получим уравнение первого порядка
.
Интегрируя его, найдем общее решение
.
Заменим
на
:
− уравнение с разделяющимися переменными.
Проинтегрировав его, найдем общий
интеграл уравнения (3.6):
.
Пример 3.5.
Найти частное решение уравнения
,
удовлетворяющее начальным условиям
,
.
Решение.
Уравнение имеет вид (3.6). Пусть
.
Тогда
и уравнение примет вид:
.
Это уравнение с разделяющимися
переменными:
,
.
Интегрируя его,
получаем:
,
или
.
Заменяем
на
:
.
Подставляем в это равенство начальные
условия
,
:
,
.
Тогда
,
или
.
Интегрируя это уравнение, получим:
.
Найдем
из начальных
условий
.
Таким образом,
,
или
− частное решение данного уравнения.