Линейные уравнения. Уравнение Бернулли
Дифференциальное уравнение первого порядка называется линейным, если оно имеет вид
(2.9)
где
и
– заданные непрерывные функции.
Рассмотрим один из методов решения линейного уравнения – метод подстановки. Решение уравнения (2.9) ищется в виде произведения двух функций
Дифференцируя обе
части этого равенства, получим
.
Подставляя выражения
для
и
в уравнение (2.9), получаем:
или
.
(2.10)
Выберем функцию
так, чтобы выражение в скобках было
равно нулю, т.е. находим какое-либо
решение дифференциального уравнения
,
которое является уравнением с
разделяющимися переменными.
Подставляя найденное
решение
в уравнение
(2.10), получаем ещё одно уравнение с
разделяющимися переменными
.
Находим его общее
решение
.
Возвращаясь к переменной
,
получим
.
Это
есть общее решение
исходного
линейного уравнения (2.9).
Пример 2.6.
Найти общее решение уравнения
.
Решение.
Полагаем
.
Тогда
,
т.е.
.
(2.11)
Функцию
найдём из уравнения
или
,
т.е.
.
Проинтегрировав, получим
,
.
Подставляя
в уравнение (2.11), получаем уравнение для
определения
:
или
или
.
Интегрируя, найдём
.
Следовательно, общее решение данного
уравнения есть
или
.
Пример 2.7.
Найти частное решение уравнения
,
удовлетворяющее условию
.
Решение. Для определения типа уравнения выразим из него :
,
.
Получили линейное
уравнение. Сделаем подстановку
.
Тогда уравнение примет вид:
или
.
(2.12)
Функцию
находим
из уравнения
или
.
Проинтегрировав, получим 
или
.
Подставим
в уравнение (2.12):
или
.
Решая это уравнение, находим
:
, 
, 
.
Общее
решение исходного уравнения есть
или
.
Подставляя
,
в общее решение, получим:
,
,
.
Таким
образом, частное решение уравнения
будет
.
Дифференциальное уравнение вида
(2.13)
называется
уравнением
Бернулли.
При
уравнение (2.13) является
линейным,
при
− уравнением с разделяющимися переменными.
Уравнение Бернулли можно решить тем же методом, что и линейное уравнение.
Пример
2.8. Найти
общее решение уравнения Бернулли
.
Решение.
Полагаем
.
Тогда
,
т.е.
.
(2.14)
Находим
функцию
из уравнения
:
, 
,
,
.
Подставляя
в уравнение (2.14), получим уравнение для
определения
:
.
Проинтегрировав, найдём:
,
.
Отсюда
общее решение
уравнения
Бернулли
есть
.
Примеры для самостоятельного решения
Найти общее решение (общий интеграл) дифференциальных уравнений:
1.
. 2.
. 3.
.
4.
.
5.
. 6.
.
7.
. 8.
.
Найти частное решение (частный интеграл) дифференциальных уравнений:
9.
.
10.
.
11.
.
12.
.
Ответы:
1.
. 2.
.
3.
.
4.
. 5.
.
6.
.
7.
. 8.
.
9.
.
10.
. 11.
.
12.
.