Уравнения с разделяющимися переменными
Дифференциальные уравнения вида
или
(2.5)
называют уравнениями
с разделяющимися
переменными.
Умножением
на
и
делением на
уравнение
приводится к виду
,
,
(2.6)
в котором переменная
находится
в одной части равенства, а переменная
– в другой, т.е. переменные разделены.
Интегрируя уравнение (2.6), получим
,
которое задаёт решение
в неявном виде.
Уравнение, записанное в виде
,
также будет уравнением с разделяющимися переменными. Перенесём второе слагаемое в правую часть:
,
разделим на
выражение
и получим уравнение
,
в котором переменные x
и y
разделены.
Пример 2.1.
Решить уравнение
,
.
Решение.
Данное
уравнение есть дифференциальное
уравнение с разделяющимися переменными.
Представим его в виде
или
,
откуда
.
Переменные разделены, интегрируем:
.
Найдем интеграл, стоящий в левой части,
.
Возвращаясь к предыдущему равенству, получаем
,
,
,
.
Обозначив
произвольную постоянную
через
и выразив
из последнего равенства, получим общее
решение уравнения
.
При делении на
могли быть потеряны решения
и
.
Очевидно, что они удовлетворяют уравнению.
Пример 2.2.
Найти общее
решение уравнения
,
.
Решение.
Делим обе части уравнения на
:
.
Интегрируем:
т.е.
.
Решение получено в неявном виде. Оно является общим интегралом уравнения.
Пример
2.3. Найти
решение уравнения
,
удовлетворяющее условию
.
Решение.
Имеем
или
.
Интегрируем:
,
т.е.
.
Отсюда
− общее решение дифференциального
уравнения. Оно представляет собой
семейство гипербол. Выделим одну из
них, которая проходит через точку (3;1).
Подставим
,
в общее решение:
,
.
Следовательно,
− искомое решение дифференциального
уравнения.
Однородные дифференциальные уравнения
Однородное дифференциальное уравнение это уравнение вида
. (2.7)
Уравнение (2.7) с помощью подстановки
,
т.е.
,
(2.8)
где
,
преобразуется в уравнение с разделяющимися
переменными.
Действительно,
подставляя
и
в уравнение, получим
или
.
Это – уравнение с разделяющимися
переменными.
Пример 2.4.
Найти общий
интеграл уравнения
.
Решение. Преобразуем уравнение к виду (2.7):
Положим
,
тогда
.
Подставляя в уравнение, получим:
,
.
Это уравнение является уравнением с
разделяющимися переменными. Разделим
переменные:
,
,
.
Проинтегрируем:
,
,
.
Заменяя
на
,
получаем
– общий интеграл исходного уравнения
или
− общее решение уравнения.
Пример
2.5. Найти
общее решение уравнения
.
Решение. Выразим из уравнения :
,
,
.
Разделив числитель
и знаменатель дроби на
,
получим однородное уравнение
.
Подставим в уравнение
,
:
,
.
Разделим переменные:
,
.
Проинтегрируем:
,
.
Заменяя
на
,
получим
− общий интеграл уравнения.