7.3. Разложение в ряд Фурье чётных и нечётных функций
Известно, что
,
если
─
нечётная функция;
,
если
─
чётная функция.
Пусть в ряд Фурье на отрезке раскладывается нечётная функция
. Тогда коэффициенты ряда Фурье вычисляются следующим образом:
Таким образом, ряд Фурье для нечётной функции будет иметь вид:
где
(7.5)
Если в ряд Фурье
на отрезке
раскладывается чётная функция
,
то
─ чётная функция, а
─ нечётная функция. Тогда коэффициенты
ряда Фурье вычисляются следующим
образом:
Следовательно, ряд Фурье для чётной функции будет иметь вид
где
(7.6)
Ряды (7.5) и (7.6) называются неполными тригонометрическими рядами или рядами по синусам и косинусам соответственно.
П
ример
7.3.
Разложить
в ряд Фурье функцию
,
с периодом
.
Решение.
Функция
─ чётная и удовлетворяет условиям
теоремы Дирихле (рис.6). Ряд Фурье для
чётной функции при
имеет вид (7.6):
.
Найдем коэффициенты разложения по формулам (7.6):
Поэтому
.
Так как
непрерывная функция при
,
то
7.4. Разложение в ряд Фурье функции, заданной на отрезке
П
усть
на некотором отрезке
задана кусочно-монотонная функция
.
Такую функцию также можно разложить в
ряд Фурье. Для этого нужно построить
периодическую функцию
с периодом
,
совпадающую с функцией
на
(рис.7).
Ряд Фурье функции имеет сумму, совпадающую с функцией на (кроме точек разрыва). Следовательно, функция разложена в ряд Фурье на отрезке .
Если
функция задана на отрезке
,
то:
а) функцию можно
продолжить периодически с периодом
;
тогда ряд Фурье для
будет иметь вид (7.2);
б) функцию можно
продолжить чётным образом на отрезок
(рис.8). Тогда ряд Фурье для
будет содержать только косинусы и иметь
вид (7.7);
в) функцию можно продолжить нечётным образом на отрезок (рис.9). Тогда ряд Фурье для будет содержать только синусы и иметь вид (7.5).
Таким образом, для функции , определенной на отрезке , можно получить различные разложения в ряд Фурье. Но все эти ряды имеют сумму,
равную на отрезке (кроме точек разрыва).
Пример 7.4.
Разложить
функцию
,
в ряд Фурье по синусам.
Решение.
Продолжим
функцию
нечётным образом на отрезок
(рис.10);
получим функцию
периода
,
удовлетворяющую условиям теоремы
Дирихле. Для нечетной функции
ряд Фурье при
имеет вид (7.5):
.
Вычислим
по формуле (7.5):
Отсюда, на отрезке
справедливо равенство
.
Сумма
полученного ряда совпадает с функцией
при всех значениях
.
Примеры для самостоятельного решения
1. Разложить в ряд
Фурье в интервале
функцию
2. Разложить функцию
в интервале
в ряд синусов.
3. Разложить в ряд
Фурье в интервале
функцию
Ответы:
1.
.
2.
.
3.
.
Библиографический список
Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике /Д.Т. Письменный. М.: Айрис-пресс, 2003. Ч.2. 252 с.
Натансон И. П. Краткий курс высшей математики /И.П. Натансон. СПб.: Изд-во «Лань», 2003. 736 с.
Демидович Б.П. Краткий курс высшей математики /Б.П. Демидович, В.А.
Кудрявцев. М.: Изд-во «Астрель», 2003. 654 с.
Бронштейн И. Н. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов / И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев . М.: Наука, 1980. 946 с.
Берман Г. Н. Сборник задач по курсу математического анализа /Г.Н. Берман. М.: Наука, 2002. 443 с.
Задачи и упражнения по математическому анализу для втузов / под ред. Б.П. Демидовича. М.: «Изд-во Астрель», 2003. 495 с.
Данко П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах /П.Е. Данко, А.Г. Попов, Т.Я. Кожевникова. М.: Высш. шк.,1998. Ч.2. 304 с.