Примеры для самостоятельного решения

Найти область сходимости степенных рядов:

1. . 2. . 3. . 4. .

Ответы: 1. . 2. . 3. . 4. .

6.3. Разложение функций в степенные ряды

Известно, что для функции , имеющей производные до –го порядка включительно в окрестности точки , справедлива формула Тейлора:

, (6.5)

где остаточный член .

Если функция имеет производные всех порядков в окрестности точки и остаточный член стремится к нулю при , то из формулы Тейлора (6.5) получим разложение функции по степеням , которое называют рядом Тейлора:

. (6.6)

При получим разложение функции по степеням , которое называют рядом Маклорена:

. (6.7)

Отметим, не доказывая, что для каждой из элементарных функций остаточный член в формуле Тейлора стремится к нулю при в некотором интервале, т.е. функция разлагается в ряд Тейлора.

Приведём разложения в ряд Маклорена некоторых элементарных функций:

1) , , (6.8)

2) , , (6.9)

3) , , (6.10)

4) , , (6.11)

5) , . (6.12)

Замечания: 1) сходимость ряда (6.11) при зависит от значения ;

2) ряд (6.12) при сходится по признаку Лейбница.

При разложении в ряд более сложных функций используют либо непосредственно формулу (6.7), либо полученные разложения (6.8) – (6.12).

Пример 6.5. Разложить в ряд Маклорена функцию .

Решение. Так как то, заменив в формуле (6.12) на , получим

Полученный ряд сходится, если , или , или .

Пример 6.6. Разложить в ряд Маклорена функцию .

Решение. Так как то, заменив на в разложении (6.11) при , получим

Полученный ряд сходится, если , т.е. .

Пример 6.7. Разложить функцию по степеням .

Решение. Запишем функцию в виде .

Заменив в формуле (6.8) на , получим

Ряд сходится при .

Примеры для самостоятельного решения

Разложить в степенной ряд по степеням функции; найти область сходимости:

1. . 2. . 3. . 4. .

Ответы: 1. . 2. .

3. . 4. .

6.4. Применение рядов в приближенных вычислениях

Степенные ряды имеют самые разнообразные приложения. С их помощью можно вычислять значения функций с любой степенью точности, неопределенные и определенные интегралы; интегрировать дифференциальные уравнения.

Приближённые вычисления значений функции

Пример 6.8. Вычислить с точностью до 0,001.

Решение. Согласно формуле (6.8) . Так как , а , то для остатка знакочередующегося ряда имеем: (по следствию из теоремы 5.6). Поэтому

.

Пример 6.9. Вычислить с точностью до 0,0001.

Решение. Запишем ряд (6.13) при :

.

В скобках стоит знакоположительный ряд. Оценим ошибку вычисления , которую мы допустим, если возьмём четыре члена ряда:

,

т.е. . Следовательно, .

Приближённые вычисления определенных интегралов

Некоторые определённые интегралы являются слишком сложными для вычислений или первообразная подынтегральной функции не выражается через элементарные функции. Иногда такие интегралы удобно вычислять с помощью рядов. Поясним это на примерах.

Пример 6.10. Вычислить интеграл с точностью до 0,0001.

Решение. Разложим подынтегральную функцию в ряд Маклорена, используя формулу (6.9).

.

Интегрируем:

Так как , а , то с точностью до 0,0001

.

Пример 6.11. Вычислить с точностью до 0,001 интеграл .

Решение. Получим разложение подынтегральной функции в степенной ряд. Для этого в формуле (6.12) положим и заменим на :

.

Этот ряд сходится при . Промежуток интегрирования принадлежит интервалу сходимости ряда. Поэтому

Так как , а , то интеграл с точностью до 0,001.