Примеры для самостоятельного решения
Доказать, что ряды расходятся.
1.
. 2.
. 3.
.
5.3. Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов
Рассмотрим некоторые
достаточные признаки сходимости для
знакоположительных
рядов, т.е. рядов с неотрицательными
членами (ряд с отрицательными членами
превращается в знакоположительный
путем умножения на
,
что, согласно свойствам рядов, не влияет
на сходимость ряда).
Т
еорема
5.2 (признак сравнения).
Пусть даны два ряда и . Если для всех выполняется неравенство
,
(5.5)
то из сходимости ряда следует сходимость ряда ,
из расходимости ряда следует расходимость ряда .
Доказательство.
Обозначим
−е
частичные суммы рядов
и
соответственно через
и
,
причем
в силу условия (5.5). Пусть ряд
сходится, тогда существует
и
,
так как члены ряда
положительны. Последовательность
частичных сумм
ряда
является возрастающей (с ростом
увеличивается сумма
положительных слагаемых) и ограниченной
.
Следовательно, последовательность
имеет конечный предел, т.е. ряд
сходится.
Пусть теперь ряд
расходится. Предположим, что ряд
сходится,
тогда, по вышедоказанному, сходится и ряд . Получили противоречие.
Пример 5.5.
Исследовать сходимость ряда
.
Решение.
Сравним данный ряд с геометрической
прогрессией
.
Прогрессия сходится
.
Так как
,
то и данный ряд сходится.
Пример 5.6.
Исследовать сходимость ряда
.
Решение.
Сравним данный ряд с гармоническим
рядом
.
Так как
(при
),
а ряд
расходится, то и ряд
расходится.
Т
еорема
5.3 (предельный признак сравнения).
Если
и
– ряды с положительными членами и
существует конечный, отличный от нуля
предел
,
то ряды одновременно сходятся или
расходятся.
Доказательство.
По определению предела последовательности
для любого
выполняется неравенство
для любого
,
откуда
.
Если ряд
сходится, то сходится ряд
и в силу признака сравнения (теорема
5.2) будет сходиться ряд
.
Аналогично, если сходится ряд
,
то сходится ряд
и сходится ряд
.
Таким образом, из сходимости одного
ряда
или
следует сходимость другого из этих
рядов. Утверждение теоремы о расходимости
рядов доказывается аналогично.
Пример 5.7.
Исследовать сходимость ряда
.
Решение.
Сравним данный ряд с гармоническим
рядом
.
Так как
,
то данный ряд так же, как и гармонический,
расходится.
Пример 5.8.
Исследовать
сходимость ряда
.
Решение.
Сравним данный ряд с гармоническим
рядом
:
.
Отсюда из расходимости гармонического
ряда следует расходимость исходного
ряда.
Т
еорема
5.4 (признак Даламбера).
Пусть для ряда
с положительными членами существует
предел
.
Тогда ряд сходится при
и расходится при
.
Доказательство не приводим.
Пример 5.9.
Исследовать сходимость ряда
.
Решение. Вычислим предел
.
Так как , то данный ряд по признаку Даламбера сходится.
Пример 5.10.
Исследовать сходимость ряда
.
Решение. Вычислим предел
.
Так как
,
то по признаку Даламбера ряд расходится.
Пример 5.11.
Исследовать сходимость ряда
.
Решение.
Так как
,
то
бесконечно малая функция и
.
Тогда
;
ряд
сходится.
Замечание.
Если
,
то следует использовать другие признаки
сходимости.
Т
еорема
5.5 (интегральный признак Коши).
Пусть члены знакоположительного ряда
являются значениями некоторой непрерывной
монотонно убывающей на промежутке
функции
так, что
.
Тогда
1) если
сходится, то сходится и ряд
;
2) если расходится, то и ряд расходится.
Доказательство не приводим.
Пример 5.12.
Доказать,
что ряд
сходится при
и расходится при
.
Решение.
Функция
непрерывна, убывает при
.
Если
,
то
Если
,
то
,
то есть имеем гармонический ряд
,
который расходится.
Итак, ряд
сходится при
и расходится при
.
Этот ряд называют обобщенным
гармоническим рядом.
Пример 5.13.
Исследовать сходимость ряда
.
Решение.
Рассмотрим функцию
,
которая удовлетворяет
условию теоремы 5.5.
Так как
,
т.е.
расходится, то по интегральному признаку
данный ряд также расходится.
Пример 5.14.
Исследовать сходимость ряда
.
Решение.
Функция
непрерывна и монотонно убывает при
.
Несобственный интеграл
является сходящимся, следовательно,
исходный ряд сходится.