2.2. Обработка геодезических сетей на плоскости

2.2.1. Постановка задачи

Для успешного решения задач предварительной обработки из­мерений нужно знать координаты определяемых пунктов с необходи­мой точностью. При этом следует предусматривать итеративный процесс уточнения координат путем перехода от вектора начальных координат X⁽¹⁾ к векторам X⁽²⁾, X⁽³⁾ и т.д., каждый раз заново вычисляя редукционные поправки в измерения. Алгоритм вычисления координат построим на применении методов нелинейно­го программирования.

Предположим, что для определения координат пунктов выпол­нены геодезические измерения T_i. Выражая результаты измере­ний через параметры х_i в виде функций

, (2.13)

получим систему в общем случае нелинейных уравнений

которую запишем в векторной форме

. (2.14)

В фундаментальном параметрическом уравнении связи (2.14) в качестве неизвестных примем координаты определяемых пунктов. В зависимости от числа неизвестных t.и количества измере­ний K могут возникнуть различные ситуации:

- в некоторых случаях возможно однозначное решение при K < t, если доопределить систему (2.14) условиями, связы­вающими неизвестные X математическими соотношениями;

- если K = t, то система (2.14) является совместной;

- при K > t в результате неизбежных ошибок измерений и погрешностей математической модели, связанных с определением вида функций j(Х), получим переопределенную несовместную систему нелинейных уравнений, не удовлетворяющую никакому век­тору неизвестных X.

Во всех перечисленных случаях применим методы нелинейного программирования, когда определяется вектор , соответст­вующий минимуму целевой функции

, (2.15)

где

, (2.16)

c_i ¾ нормирующие множители, вычисляемые по формуле

, (2.17)

где S_ср. - среднее или известное (измеренное) расстояние меж­ду пунктами геодезической сети.

Коэффициенты с_i предназначены для ускорения процесса минимизации критериальной функции и для увеличения области сходимости итераций.

Теоретическое обоснование целесообразности применения ме­тода наименьших модулей для фильтрации грубых ошибок измерений дано во многих работах, что позволяет использовать целевую функцию (2.15) на первом этапе математической обработки ¾ пред­варительных вычислениях. На этом этапе также можно применять различные упрощенные методы минимизации, используя разнообраз­ные преобразования критериальной функции для ускорения сходи­мости итераций. С этой же целью возможно применение упрощенной математической модели. Например, при обработке геодезических сетей на поверхности эллипсоида целесообразно первоначальное решение получать на сфере, заменяя функции в (2.13) на более простые.

При решении любых систем нелинейных уравнений требуется искать ответ на три основных вопроса:

¾ выбор алгоритма при минимизации целевой функции с большим числом неизвестных;

¾ выбор начальных значений неизвестных с тем, чтобы они попали в область сходимости к глобальному минимуму;

¾ локализация влияния на результаты грубых ошибок инфор­мации.

При обработке геодезических сетей возможно решение этих вопросов следующим путем. Систему уравнений (2.16) предлагается решать по группам неизвестных, расчленяя любую по сложности геодезическую сеть на отдельные многократные или однократные засечки, применяя метод последовательной вставки пунктов. Это приводит к необходимости решения частных систем (2.16) при чис­ле неизвестных не более шести (до трех определяемых без контроля пунктов). Так как будут решаться системы с малым числом неизвестных Х, то для минимизации функции (2.15) можно при­менять трудоемкие в вычислительном отношении, но удобные для программирования методы минимизации, обладающие большой областью сходимости итераций. В результате в большинстве случаев воз­можно вычисление начальных компонент вектора Х, как сред­него арифметического из координат окружающих пунктов. Следова­тельно, начальные координаты определяемых пунктов можно не за­давать в исходной информации, а иметь лишь сведения об S_ср для всей геодезической сети.

В дальнейшем будем находить не грубые ошибки измерений, а грубые промахи в исходной информации, возникающие при ее наборе •или в процессе измерений при неверном отождествлении названий окружающих пунктов. Если минимум целевой функции найден, то про­веряется выполнение неравенства.

, (2.18)

где s_i - стандарт измерения.

Данное неравенство используется только после введения в вектор Т редукционных поправок. Если это неравенство не вы­полнено, а K – t = 1, то полученные координаты не запоминаются. Если число избыточных измерений K – t = 2, то при несоблюдении неравенства (2.18) грубые промахи определяются ме­тодом последовательного исключения одного уравнения (2.16) из решаемой системы с очередной минимизацией функции (2.15). Если K - t > 2, то во всех возможных комбинациях исключаются по два уравнения. Цель таких вычислений ¾ решить систему (2.16) при K – t ³ 1 с соблюдением неравенства (2.18) и запом­нить координаты, полученные с контролем.

Чтобы поставить заслон на воздействие грубых промахов в информации на результаты вычислений, в производственных прог­раммах следует предусматривать важное ограничение: не обраба­тывать бесконтрольные засечки, если в них существует хотя бы одна связь с бесконтрольным пунктом. Это приводит к необходи­мости цикличной обработки геодезической сети. Подтвердим ука­занное ограничение на примере хода полигонометрии (рис.2.7). При первом просмотре сети будут найдены бесконтрольно координаты пунктов 1 и 6.

1 4 5

2 3 6

Р ис. 2.7. Ход полигонометрии

В следующем просмотре сети пункт 2, связан­ный с пунктом 1, обрабатываться не будут. Аналогично не будут вычислены и координаты пункта 5. Следовательно, согласно изло­женной методике координаты пунктов 2 - 5 не будут найдены. Но это и не требуется, так как ход полигонометрии можно обработать обычным путем без применения методов нелинейного программирования с вычислением свободных членов условий дирекционных углов и координат, с точным указанием грубых ошибок измерений, если их в ходе не более одной.

Избранный метод значительно расширяет возможности программ по обработке разнообразных геодезических построений. Достигает­ся это тем, что найден общий подход к решению задачи, не зависящий от вида нелинейных уравнений (2.16), способа определения пункта (т.е. допускается любая возможная комбинация измеренных величин), размерности пространства и вида поверхности, На ко­торой производятся вычисления. Здесь рационально используются избыточные результаты измерений для обнаружения грубых промахов в информации и обеспечения высокой точности предварительных координат определяемых пунктов. Только в редких случаях, например, при обработке трилатерации или засечек, обладающих двойст­венностью решения, требуется задавать информацию о начальных координатах определяемых пунктов.