Теоремы умножения вероятностей

Произведением двух событий А и В называют событие АВ, состоящее в совместном появлении (совмещении) этих событий.

Пример 5: пусть А - из урны вытянули белый шар, B - из урны вытянули белый шар, тогда АВ - из урны вытянули два белых шара; если А - идет дождь, B - идет снег, то АB - дождь со снегом; А - число четное, B - число кратное 3, тогда АB - число кратное 6.

Событие В называют независимым от события А, если появление события А не изменяет вероятности события В.

Два события А и В называются независимыми, если вероятность появления каждого из них не зависит от того, появилось другое событие или нет. В противном случае события А и В называются зависимыми. Например, из одной колоды тянут карты, не возвращая их.

Условной вероятностью P_A(B) называют вероятность события В, вычисленную в предположении, что событие А уже наступило.

Теорема умножения для зависимых событий

Теорема. Вероятность совместного появления двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную в предположении, что первое событие уже наступило: 

P (AB) = P (A)*PA(B).

(2.4)

Пример 6. В читальном зале имеется 6 учебников по информатике, из которых три в переплете. Библиотекарь наудачу взял два учебника. Найти вероятность того, что оба учебника окажутся в переплете.

Решение. Рассмотрим следующие события:  А1- первый взятый учебник в переплете;  A2- второй взятый учебник в переплете.

Событие A = A₁ * A₂, состоит в том, что оба взятых учебника в переплете. События А₁ и А₂ являются зависимыми, так как вероятность наступления события А₂зависит от наступления события А₁. Поэтому, для вычисления вероятности воспользуемся формулой (2.4).

Вероятность наступления события А₁ в соответствии с классическим определением вероятности:

P (А₁) = m / n = 3/6 = 0,5.

P _А1 (А₂) определяется как условная вероятность наступления события А₂ при условии, что событие А₁ уже наступило:

P _А1 (А₂) = 2/5 = 0,4.

Тогда искомая вероятность наступления события А:

P (А) = 0,5 * 0,4 = 0,2.

Теорема умножения для независимых событий

Теорема. Вероятность произведения двух независимых событий А и В равна произведению их вероятностей: 

P(AB) = P(A)*P(B).

(2.5)

Теорема сложения вероятностей совместных событий

Два события называются совместными, если появление одного из них не исключает появления другого в одном и том же испытании.

Пример 6. А - появление четырех очков при бросании игральной кости; В - появление четного числа очков. Событие А и В - совместны.

Теорема. Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий А и В равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления: 

P (A + B) = P (A) + P (B) - P (AB).

(2.6)

Пример 7. Два студента читают книгу. Первый студент дочитает книгу с вероятностью – 0,6; второй – 0,8. Найти вероятность того, что книга будет прочитана хотя бы одним из студентов.

Решение. Вероятность того, что книга будет прочитана каждым из студентов не зависит от результата отдельно взятого студента, поэтому события А (первый студент дочитал книгу) и B (второй студент дочитал книгу) независимы и совместны. Искомую вероятность находим по формуле 2.6.

Вероятность события АB (оба студента дочитали книгу):

P (AB) = P (A) * P (B) = 0,6 * 0,8 = 0,48.

Тогда

P (A + B) = 0,6 + 0,8 - 0,48 = 0,92.

5. Формула полной вероятности.

Формула полной вероятности

Теорема. Вероятность события A, которое может наступить лишь при условии появления одного из несовместных событий B₁, B₂,…, B_n, образующих полную группу, равна сумме произведений вероятностей каждого из этих событий на соответствующую условную вероятность события A: 

(2.7)

6. Теорема гипотез (формула Бейеса).

Вероятность гипотез. Формулы Байеса

Теорема. Если существуют n попарно несовместных событий B₁, B₂,…, B_n, образующих полную группу, и известны условные вероятности события А, то можно найти вероятности того, что событие А произошло при условии появления некоторого события B_i по формуле: 

.

(2.8)

Формулы Байеса позволяют переоценить вероятности гипотез после того, как становится известным результат испытания, в итоге которого появилось событие А.

7. Ряд распределения. Функция распределения. Плотность распределения.

Статистические ряды распределения– это упорядоченное расположение единиц изучаемой совокупности или групп по группировочному признаку. Они характеризуют состав (структуру) изучаемого явления, позволяют судить об однородности совокупности, границах её изменения, закономерностях наблюдаемого объекта.

Ряды распределения, построенные по качественному признаку, называют атрибутивными. Например, распределение работников по занимаемой должности, профессии, образованию; распределение предприятий по форме собственности, виду основной деятельности и другим качественным признакам.

При группировке ряда по количественному признаку образуются вариационныеряды. Вариационные ряды по способу построения бывают дискретными (прерывными), построенными на прерывной вариации признака (число человек в семье, касс в магазине, комнат в квартире), и интервальными (непрерывными), базирующимися на непрерывно изменяющемся значении признака, имеющем любые (в том числе и дробные) количественные выражения (объём товарооборота, величина фонда оплаты труда, выработка рабочего). При построении интервальных рядов распределения возникают вопросы о числе групп, величине интервала, его границах.

Вариационные ряды состоят из двух элементов: варианты и частоты.

Варианта –это отдельное значение варьируещего признака, которое он принимает в ряду распределения.

Частотаминазываются численности отдельных вариант или численности единиц каждой группы вариационного ряда. Частоты, выраженные в долях единицы или в процентах к итогу называются частостями. Сумма частот составляет объём ряда распределения.

Статистический ряд распределения по атрибутивному признаку представлен в табл.12.

 

Табл.12. Распределение продавцов магазина по категориям

Группа продавцов по категориям (атрибутивный признак)	Число продавцов, чел. (частота)	В % к итогу (частость)
Первая Вторая Третья

Итого: 200 100

 

Если группировку в виде ряда распределения продавцов по категориям составить за два периода по данному магазину, то можно выявить происходящие структурные изменения (в данном случае – качественные сдвиги) в составе категории работников.

Дискретные вариационные ряды распределения магазинов района по числу секций на две даты представлены в табл.13.

В приведенных в табл.13 рядах частоты выражены в процентах, что позволяет посредством их сравнения обнаружить процесс увеличения количества товарных секций в магазинах на начало 2003г. по сравнению с началом 2000г. Это во многом связано со складывающейся конъюнктурой рынка, вызвавшей расширение ассортимента товаров и приведшей к разукрупнению существующих и созданию новых товарных секций.

 

Табл.13. Распределение магазинов района по числу товарных секций

Число товарных секций	На 1 января 2000 г.	На 1 января 2003 г.
Число магазинов	В % к итогу	Число магазинов	В % к итогу

Итого: 60 100 75 100

 

В статистических вариационных рядах существует определённая связь между частотами и значениями варьирующего признака: с увеличением признака величина частот вначале возрастает до определённой величины, а затем уменьшается.

Такие изменения называют закономерностями распределения. Для характеристики закономерностей распределения вариационных рядов в статистике часто используют известные в математике законы распределения, примерами которых могут служить:

-нормальное распределение