1 Арифметические и логические основы цифровой техники

Основная цель настоящего учебного пособия помочь студенту, приступившему к изучению арифметики вычислительных машин, приобрести теоретические знания и практические навыки выполнения основных арифметических операций. Правильное понимание алгоритмов рассматриваемых операций подкрепляется знанием структурных и логических схем, реализующих эти алгоритмы и представляющих собой некоторые операционные устройства. В пособии уделяется внимание рассмотрению этих схемных решений. Достаточно подробно рассмотрен аппарат, основанный на правилах и законах булевой алгебры, ориентированный на упрощение (минимизацию) проектируемых логических схем. Кроме того, в пособии приводятся сведения об основных формах хранения и преобразования числовой информации, способах ее кодирования. Достаточное внимание уделено методам контроля правильности функционирования цифрового автомата, возможным ошибкам, возникающим при его работе, и способам их устранения. Рассматриваемый в пособии теоретический материал сопровождается достаточным количеством примеров, что упрощает и делает более понятным излагаемый материал. В заключение следует отметить, что в течение ряда лет литература, освещающая арифметику вычислительных машин, не выпускалась. В пособии сделана попытка устранить этот информационный пробел. Материал пособия базируется на работах [1˗5]. Арифметические основы вычислительной техники Системы счисления. В ЭВМ информация всегда представляется в виде чисел, записанных в той или иной системе счисления. Выбор системы счисления один из важнейших вопросов. От правильности его решения зависят такие характеристики ЭВМ, как скорость вычислений, сложность алгоритмов реализации арифметических операций и другие.

Система счисления ˗ совокупность цифр, приемов и правил для записи чисел цифровыми знаками. Любая система счисления должна обеспечивать:

• возможность представления любого числа в рассматриваемом диапазоне величин; единственность этого представления;

• простоту оперирования числами.

Различают два типа систем счисления непозиционные и позиционные. Непозиционная система счисления ˗ система, для которой значение символа не зависит от его положения в числе. Примером может служить система счисления с одной цифрой 1. Для записи любого числа в ней необходимо написать количество единиц, равное числу.

Другой пример ˗ это римская система счисления. Позиционной системой счисления называется система записи любых по величине чисел, в которой значение цифры зависит от ее положения в числе, то есть веса. Число цифр в позиционной системе счисления ограниченно. Основание (базис) r позиционной системы счисления максимальное количество различных знаков или символов, используемых для изображения числа в данной системе счисления. Таким образом, основание может быть любым числом, кроме 1 и бесконечности.

Любое число в системе счисления с основанием r может быть записано в общем виде: A=a n•r n + a n-1•r n-1 +...+a 1•r 1 +a 0•r 0 + a -1•r —1 +...+a -rn-1•r -(rn-1) +a -rn•r -rn , (1) или i n m i i r a ? ? = = i А , (2) где любая разрядная цифра a i ?{0,…,r-1}, a r i ˗ вес соответствующего разряда. Запись числа в форме (1) назовем записью числа в развернутой форме. Свернутой формой записи чисел называется запись чисел в виде A=a 1 a 2 … a k . Для любой системы счисления основание представляется как 1 (один) и 0 (ноль). Например: 9 1 F 7 + 1 + 1 + 1 + 1 10 10 10 2 10 16 10 8 Вес разряда p i числа выражается соотношением p i = r i /r 0 = r i , где i - номер разряда при отсчете справа налево. Если в i˗м разряде накопилось значение единиц, равное или большее r, то должна происходить передача единицы в старший i+1 разряд. При сложении такая передача информации называется переносом. При вычитании передача из i+1 разряда в i-й – заем. Длина числа количество позиций (разрядов) в записи числа. В технической реализации под длиной числа понимается длина разрядной сетки.