Лекция 3.

Метод зон Френеля

Р ассмотрим случай прохождения света через круглое отверстие. Пусть S – точечный источник света, - круглое отверстие в непрозрачном экране, лежащее на расстоянии от , рис.52. Это отверстие п ропустит лишь часть сферической волны, исходящей из . Определим действие этой волны в точке , лежащей на прямой , которая проходит через центр отверстия , на расстоянии от отверстия. Для этого мысленно разделим волновую поверхность на кольцевые зоны (зоны Френеля), построенные таким образом, чтобы расстояния от краев соседних зон до точки отличались на половину длины волны падающего света: . Тогда колебания, приходящие в точку от соответствующих частей соседних зон, будут иметь разность хода , т.е. придут в точку в противоположных фазах. Амплитуда колебаний, приходящих от отдельной зоны, зависит от площади зоны, от расстояния от зоны до точки и от угла наклона между и нормалью к поверхности зоны. Прежде всего, определим площади зон Френеля. Обозначим через радиус -ой зоны. Из рис.53 имеем:

(3.29)

отсюда: (3.31)

Но по определению зон Френеля расстояние до -ой зоны на больше расстояния :

Отсюда:

Считая, что , приближенно получим:

(3.32)

после чего выражение (3.31) принимает вид:

(3.33)

Площадь поверхности сферического сегмента радиуса равна:

Подставим сюда значение из (3.33):

В пределах этого сегмента умещается кольцевых зон, откуда площадь одной зоны может быть представлена как разность площади этого сегмента и сегмента, охватывающего зон, т.е.:

Откуда:

Т.е. площадь зоны в указанном приближении не зависит от ее номера , следовательно, площади всех зон приблизительно равны. Поэтому, амплитуды колебаний, доходящих от отдельных зон до точки , зависят лишь от расстояния и от угла, который направление составляет с нормалью к поверхности зоны. С увеличением номера зоны расстояние возрастает и возрастает угол наклона , поэтому амплитуды колебаний, доходящих до точки от отдельных зон, должны монотонно убывать с увеличением номера зоны:

Т.к. фазы колебаний, приходящих в точку от двух соседних зон, противоположны, то амплитуда суммарного колебания , вызванного действием зон, равна

(3.34)

где знак последнего члена «плюс» при нечетном и «минус» при четном .

Очевидно, что при четном числе зон их действие попарно ослабляет друг друга и амплитуда колебаний в точке незначительна, а при нечетном числе зон действие одной из зон остается неослабленным и больше, чем при четном числе зон.

Более точное значения для суммарного колебания получим, разбив в сумме (3.34) все нечетные члены на два слагаемых следующим образом:

Тогда при нечетном получим:

(3.35)

При четном выражение для амплитуды суммарного колебания в точке принимает вид:

Т.к. мы уже выяснили, что амплитуды монотонно убывают с ростом , то приближенно можно положить амплитуду колебаний, вызванных какой-либо -ой зоной, равной полусумме амплитуд колебаний, вызванных ( )-ой и ( )-зонами:

Тогда все слагаемые в рядах, выделенные скобками, равны нулю и, следовательно, при нечетном :

(3.36)

а при четном :

(3.37)

Если число зон достаточно велико, то амплитуды колебаний, вызванных ( )-ой и -ой зонами, мало отличаются друг от друга, отсюда приближенно можно записать:

Таким образом, выражения (3.36) и (3.37) можно записать в общем виде:

(3.38)

где знак «плюс» соответствует нечетному, а знак «минус» – четному числу зон.

Число зон, которое уложится на части волнового фронта, не закрытого экраном, зависит от отношения размеров отверстия к длине волны и от его местоположения.

Радиус -ой зоны определяется выражением:

Полагая , пренебрежем членом , тогда получим:

Возьмем значение

Подставим его в выражение для :

Теперь, заменим согласно (3.32) на , получим:

Окончательное выражение для радиуса -ой зоны будет выглядеть тогда:

(3.39)

Очевидно, что одновременно есть радиус рассматриваемого отверстия в экране. Отсюда получаем, что отверстие радиуса открывает только часть волнового фронта, на котором умещается число зон, определяемое следующим образом:

(3.40)

Для плоского фронта волны, падающего на экран ( ) выражение (3.40) принимает вид:

или

где – есть угол, под которым видно отверстие в экране из точки (в силу малости углов ).

Амплитуда суммарного колебания в точке зависит от числа открытых зон. Для данных , местоположения экрана и размеров отверстия в нем (даны и ) число открытых зон определится положением точки ; для разных точек это число будет различным. В тех точках , для которых нечетно, амплитуда суммарных колебаний больше, а в тех точках , для которых четно, она меньше. Квадрат амплитуды, как известно, определяет энергию световых колебаний (интенсивность), т.е. . В свою очередь, энергия световых колебаний определяет освещенность. Таким образом, при продвижении вдоль прямой мы будем встречать то больше, то меньше освещенности.

При данных же и , т.е. при данном расположении источника света, экрана с отверстием и точки наблюдения , освещенность в точке будет зависеть от размеров отверстия и его отношения к .

Таким образом, мы пришли к следующему выводу:

Свет не распространяется прямолинейно, освещенность в точке Р определяется размером и положением отверстия С ^/С ^//, она определяется действием всех точек, лежащих на открытой части волнового фронта.

Если размеры отверстия увеличить до бесконечности, т.е. оставить незакрытой всю поверхность волнового фронта, то действие последней зоны станет бесконечно малыми амплитуда суммарного колебания в точке окажется равной:

Если размеры такие, что по отношению к данной точке на площади отверстия укладывается нечетное число зон, то амплитуда колебаний в точке равна:

Т.е., она больше, чем при полностью открытом фронте волны. Максимальное значение имеет в такой точке , для которой на площади отверстия укладывается только одна первая зона. Тогда , т.е. в два раза больше, чем .

При большом числе открытых зон второй член в выражении для суммарной амплитуды колебаний мал и мало отличается от амплитуды , Отсюда, размеры отверстия перестают сказываться на освещенности в точке , если число открытых зон велико. Если бы свет распространялся прямолинейно, то размеры отверстия вообще не должны были бы сказываться на освещенности в точке . Отсюда можно прийти к следующему следствию: выводы из волновых представлений и представлений о прямолинейном распространении света начинают совпадать, когда число открытых зон достаточно велико.

Пользуясь выведенными выражениями для k, легко подсчитать, при каких условиях число зон, укладывающихся на площади отверстия, достаточно велико. Например, для случая плоского фронта ( ) для точки , расположенной на расстоянии = 50 см от отверстия радиусом = 5 мм и при длине волны падающего света 500 нм, число открытых зон Френеля получится равным = 100. Следовательно, при этих условиях на площади отверстия укладывается значительное число зон и дальнейшее увеличение размеров отверстия не будет практически влиять на освещенность в точке . Результат таков, как если бы свет распространялся прямолинейно. Для точки же , отстоящей от такого же отверстия на расстоянии 50 м, при той же длине волны падающего света, на площади отверстия уложится лишь одна зона, и волновой характер распространения света будет явно сказываться.