Опис алгоритму
Для розробки програми до даної курсової роботи було розглянуто схему Горнера та спосіб знаходження границь дійсних коренів поліномів, з використанням даного методу. Основне завдання – використовуючи метод Горнера знайти один з коренів полінома з шістьма головними цифрами.
Алгоритм роботи програми розглянемо на наступних прикладах:
;
;
.
Отже,
для початку нам необхідно знайти верхню
і нижню границю дійсних коренів, тобто
ті межі,
за якими корені полінома не існують. За
схемою Горнера необхідно розкласти
наведені приклади на відрізку
це
необхідно аби можливо було прослідкувати
за зміною знаків на цьому відрізку. Для
наведених прикладів достатньо буде
використати
,
тобто розкласти дані приклади від -9 до
9.
Щоб знайти верхню границю, необхідно знайти при якому, всі коефіцієнти будуть додатними, а для знаходження нижньої – необхідно перетворити приклади по формулі , тому будемо мати такі пари прикладів:
та
;
та
;
та
.
Тепер відшукаємо верхню та нижню границі для наших пар прикладів у програмі Excel (розрахунки наведено нижче і вони співпадають з розрахунками проведеними вручну).
Проведемо розрахунки для прикладу №1:
Знаходження верхньої границі |
|
Знаходження нижньої границі |
||||||||||
x3-25x+52=0 |
|
x3-25x-52=0 |
||||||||||
|
1 |
0 |
-25 |
52 |
|
|
1 |
0 |
-25 |
-52 |
||
-9 |
1 |
-9 |
56 |
-452 |
|
-9 |
1 |
-9 |
56 |
-556 |
||
-8 |
1 |
-8 |
39 |
-260 |
|
-8 |
1 |
-8 |
39 |
-364 |
||
-7 |
1 |
-7 |
24 |
-116 |
|
-7 |
1 |
-7 |
24 |
-220 |
||
-6 |
1 |
-6 |
11 |
-14 |
|
-6 |
1 |
-6 |
11 |
-118 |
||
-5 |
1 |
-5 |
0 |
52 |
|
-5 |
1 |
-5 |
0 |
-52 |
||
-4 |
1 |
-4 |
-9 |
88 |
|
-4 |
1 |
-4 |
-9 |
-16 |
||
-3 |
1 |
-3 |
-16 |
100 |
|
-3 |
1 |
-3 |
-16 |
-4 |
||
-2 |
1 |
-2 |
-21 |
94 |
|
-2 |
1 |
-2 |
-21 |
-10 |
||
-1 |
1 |
-1 |
-24 |
76 |
|
-1 |
1 |
-1 |
-24 |
-28 |
||
0 |
1 |
0 |
-25 |
52 |
|
0 |
1 |
0 |
-25 |
-52 |
||
1 |
1 |
1 |
-24 |
28 |
|
1 |
1 |
1 |
-24 |
-76 |
||
2 |
1 |
2 |
-21 |
10 |
|
2 |
1 |
2 |
-21 |
-94 |
||
3 |
1 |
3 |
-16 |
4 |
|
3 |
1 |
3 |
-16 |
-100 |
||
4 |
1 |
4 |
-9 |
16 |
|
4 |
1 |
4 |
-9 |
-88 |
||
5 |
1 |
5 |
0 |
52 |
|
5 |
1 |
5 |
0 |
-52 |
||
6 |
1 |
6 |
11 |
118 |
|
6 |
1 |
6 |
11 |
14 |
||
7 |
1 |
7 |
24 |
220 |
|
7 |
1 |
7 |
24 |
116 |
||
8 |
1 |
8 |
39 |
364 |
|
8 |
1 |
8 |
39 |
260 |
||
9 |
1 |
9 |
56 |
556 |
|
9 |
1 |
9 |
56 |
452 |
||
Отже, дійсні корені не виходять за межі [-6,5] |
||||||||||||
Як
видно із таблиці при розрахунку верхньої
границі вперше всі коефіцієнти стають
додатними при
,
отже
- це верхня границя даного поліному.
Тепер, виконавши перетворення поліному
для знаходження нижньої границі, всі
коефіцієнти стають додатними при
,
але за умовою нижня границя це
,
тому
- нижня границя. Таким чином ми знайшли
границі дійсних коренів.
Знаючи границі дійсних коренів полінома необхідно провести ті ж самі розрахунки, але вже використовуючи відрізок від нижньої до верхньої границі, для того, щоб перевірити скільки разів буде змінюватися знак вільного члена, тобто скільки коренів рівняння існує на даному відрізку.
Проробимо розрахунки у програмі Excel зробимо відповідні висновки про кількість дійсних коренів. Із нової таблиці видно, що знак змінюється лише один раз, а, отже, такий корінь лише один.
Перевірка відрізку [-6,5] |
||||
x3-25x+52=0 |
||||
|
1 |
0 |
-25 |
52 |
-6 |
1 |
-6 |
11 |
-14 |
-5 |
1 |
-5 |
0 |
52 |
-4 |
1 |
-4 |
-9 |
88 |
-3 |
1 |
-3 |
-16 |
100 |
-2 |
1 |
-2 |
-21 |
94 |
-1 |
1 |
-1 |
-24 |
76 |
0 |
1 |
0 |
-25 |
52 |
1 |
1 |
1 |
-24 |
28 |
2 |
1 |
2 |
-21 |
10 |
3 |
1 |
3 |
-16 |
4 |
4 |
1 |
4 |
-9 |
16 |
5 |
1 |
5 |
0 |
52 |
Проведемо розрахунки верхньої та нижньої границь – для прикладу №2, та зробимо відповідні висновки.
Знаходження верхньої границі |
|
Знаходження нижньої границі |
||||||||
3x3+2x2-5x+7=0 |
|
3x3-2x2-5x-7=0 |
||||||||
|
3 |
2 |
-5 |
7 |
|
|
3 |
-2 |
-5 |
-7 |
-9 |
3 |
-25 |
220 |
-1973 |
|
-9 |
3 |
-29 |
256 |
-2311 |
-8 |
3 |
-22 |
171 |
-1361 |
|
-8 |
3 |
-26 |
203 |
-1631 |
-7 |
3 |
-19 |
128 |
-889 |
|
-7 |
3 |
-23 |
156 |
-1099 |
-6 |
3 |
-16 |
91 |
-539 |
|
-6 |
3 |
-20 |
115 |
-697 |
-5 |
3 |
-13 |
60 |
-293 |
|
-5 |
3 |
-17 |
80 |
-407 |
-4 |
3 |
-10 |
35 |
-133 |
|
-4 |
3 |
-14 |
51 |
-211 |
-3 |
3 |
-7 |
16 |
-41 |
|
-3 |
3 |
-11 |
28 |
-91 |
-2 |
3 |
-4 |
3 |
1 |
|
-2 |
3 |
-8 |
11 |
-29 |
-1 |
3 |
-1 |
-4 |
11 |
|
-1 |
3 |
-5 |
0 |
-7 |
0 |
3 |
2 |
-5 |
7 |
|
0 |
3 |
-2 |
-5 |
-7 |
1 |
3 |
5 |
0 |
7 |
|
1 |
3 |
1 |
-4 |
-11 |
2 |
3 |
8 |
11 |
29 |
|
2 |
3 |
4 |
3 |
-1 |
3 |
3 |
11 |
28 |
91 |
|
3 |
3 |
7 |
16 |
41 |
4 |
3 |
14 |
51 |
211 |
|
4 |
3 |
10 |
35 |
133 |
5 |
3 |
17 |
80 |
407 |
|
5 |
3 |
13 |
60 |
293 |
6 |
3 |
20 |
115 |
697 |
|
6 |
3 |
16 |
91 |
539 |
7 |
3 |
23 |
156 |
1099 |
|
7 |
3 |
19 |
128 |
889 |
8 |
3 |
26 |
203 |
1631 |
|
8 |
3 |
22 |
171 |
1361 |
9 |
3 |
29 |
256 |
2311 |
|
9 |
3 |
25 |
220 |
1973 |
Отже, дійсні корені не виходять за межі [-3,1] |
||||||||||
Переглянувши
нашу таблицю бачимо, що при розрахунку
верхньої границі вперше всі коефіцієнти
стають додатними при
,
а тому ми можемо стверджувати, що
це верхня границя, а виконавши перетворення
для знаходження нижньої границі
дізнаємось, що коефіцієнти стають
додатними при
,
але не забуваємо, що за умовою нижня
границя це
маємо
.
Таким чином ми знайшли границі дійсних
коренів даного поліному.
Нам знову необхідно провести такі ж самі розрахунки, але вже на відрізку від нижньої до верхньої границі, перевіряючи кількість змін знаку вільного члена, щоб дізнатись скільки коренів існує на даному відрізку. Із таблицінаведеної нижче робимо висновок, що такий корінь лише один.
Перевірка відрізку [-3,1] |
||||
3x3+2x2-5x+7=0 |
||||
|
3 |
2 |
-5 |
7 |
-3 |
3 |
-7 |
16 |
-41 |
-2 |
3 |
-4 |
3 |
1 |
-1 |
3 |
-1 |
-4 |
11 |
0 |
3 |
2 |
-5 |
7 |
1 |
3 |
5 |
0 |
7 |
Тепер виконаємо ці ж самі розрахункові операції для останнього прикладу - №3, і зробимо відповідні висновки.
Переглянувши
таблицю знаходження границь для прикладу
№3 ми побачимо, що при розрахунку верхньої
границі вперше всі коефіцієнти стають
додатними при
,
а тому ми можемо говорити, що
це верхня границя. Виконавши перетворення
для знаходження нижньої границі і
провівши розрахунок, ми побачимо, що
всі коефіцієнти стають додатними при
,
але пам’ятаючи, що за умовою нижня
границя це
маємо
.
Таким чином ми знайшли границі дійсних
коренів даного поліному.
Тепер ми можемо переходити до наступних дій, а саме перевірки даного відрізку на кількість дійсних коренів, а із таблиці перевірки робимо висновок, що таких коренів два.
Знаходження верхньої границі |
|
Знаходження нижньої границі |
||||||||||||
x4-2x3+3x2+4x-1=0 |
|
x4+2x3+3x2-4x-1=0 |
||||||||||||
|
1 |
-2 |
3 |
4 |
-1 |
|
|
1 |
2 |
3 |
-4 |
-1 |
||
-9 |
1 |
-11 |
102 |
-914 |
8225 |
|
-9 |
1 |
-7 |
66 |
-598 |
5381 |
||
-8 |
1 |
-10 |
83 |
-660 |
5279 |
|
-8 |
1 |
-6 |
51 |
-412 |
3295 |
||
-7 |
1 |
-9 |
66 |
-458 |
3205 |
|
-7 |
1 |
-5 |
38 |
-270 |
1889 |
||
-6 |
1 |
-8 |
51 |
-302 |
1811 |
|
-6 |
1 |
-4 |
27 |
-166 |
995 |
||
-5 |
1 |
-7 |
38 |
-186 |
929 |
|
-5 |
1 |
-3 |
18 |
-94 |
469 |
||
-4 |
1 |
-6 |
27 |
-104 |
415 |
|
-4 |
1 |
-2 |
11 |
-48 |
191 |
||
-3 |
1 |
-5 |
18 |
-50 |
149 |
|
-3 |
1 |
-1 |
6 |
-22 |
65 |
||
-2 |
1 |
-4 |
11 |
-18 |
35 |
|
-2 |
1 |
0 |
3 |
-10 |
19 |
||
-1 |
1 |
-3 |
6 |
-2 |
1 |
|
-1 |
1 |
1 |
2 |
-6 |
5 |
||
0 |
1 |
-2 |
3 |
4 |
-1 |
|
0 |
1 |
2 |
3 |
-4 |
-1 |
||
1 |
1 |
-1 |
2 |
6 |
5 |
|
1 |
1 |
3 |
6 |
2 |
1 |
||
2 |
1 |
0 |
3 |
10 |
19 |
|
2 |
1 |
4 |
11 |
18 |
35 |
||
3 |
1 |
1 |
6 |
22 |
65 |
|
3 |
1 |
5 |
18 |
50 |
149 |
||
4 |
1 |
2 |
11 |
48 |
191 |
|
4 |
1 |
6 |
27 |
104 |
415 |
||
5 |
1 |
3 |
18 |
94 |
469 |
|
5 |
1 |
7 |
38 |
186 |
929 |
||
6 |
1 |
4 |
27 |
166 |
995 |
|
6 |
1 |
8 |
51 |
302 |
1811 |
||
7 |
1 |
5 |
38 |
270 |
1889 |
|
7 |
1 |
9 |
66 |
458 |
3205 |
||
8 |
1 |
6 |
51 |
412 |
3295 |
|
8 |
1 |
10 |
83 |
660 |
5279 |
||
9 |
1 |
7 |
66 |
598 |
5381 |
|
9 |
1 |
11 |
102 |
914 |
8225 |
||
Отже, дійсні корені не виходять за межі [-1,2] |
||||||||||||||
Перевірка відрізку [-1,2] |
|||||
x4-2x3+3x2+4x-1=0 |
|||||
|
1 |
-2 |
3 |
4 |
-1 |
-1 |
1 |
-3 |
6 |
-2 |
1 |
0 |
1 |
-2 |
3 |
4 |
-1 |
1 |
1 |
-1 |
2 |
6 |
5 |
2 |
1 |
0 |
3 |
10 |
19 |
Перейдемо безпосередньо до пошуку кореня, так як за умовою завдання нам необхідно знайти лише 1 корінь з шістьма цифрами.
Для
уточнення кореня виконаємо заміну
.
В результаті
отримаємо наступні рівняння:
Із рівняння при підстановці →
→
,
помножимо
все рівняння
на
-1
і отримаємо
.
Виконавши
пошук кореня для даного рівняння ми
побачимо, що знак змінюється при
,
отже перша цифра дійсного кореня
.
Пошук кореня |
||||
y3-25y-52=0 |
||||
|
1 |
0 |
-25 |
-52 |
5 |
1 |
5 |
0 |
-52 |
6 |
1 |
6 |
11 |
14 |
Щоб продовжити пошук наступної цифри, необхідно розкласти все рівняння на :
Повний розклад рівняння на С=5 |
||||
y 3-25y-52=0 |
||||
|
1 |
0 |
-25 |
-52 |
5 |
1 |
5 |
0 |
-52 |
5 |
1 |
10 |
50 |
|
5 |
1 |
15 |
|
|
Під
повним розкладом мається на увазі
розклад першого рівняння на
,
а далі розклад тих рівнянь які утворюються
із даного, для прикладу – із табл.11
видно, що
розкладається на
,
тоді як
в
свою чергу розкладається на
,
а
розкладається
як
.
Тепер ми можемо скласти рівняння для знаходження наступної цифри, для цього по черзі помножимо вільні члени на 10 в степені від 0 до . В результаті ми маємо рівняння:
,
спростивши даний вираз отримаємо:
.
Так
як
,
то перевіримо значення даного полінома
на відрізку
,
щоб знайти цифру на якій знак вільного
члена зміниться:
Перевірка рівняння, утвореного з вільних членів, на відрізку [0,10] |
||||
y3+150y2+5000y-52000=0 |
||||
|
1 |
150 |
5000 |
-52000 |
0 |
1 |
150 |
5000 |
-52000 |
1 |
1 |
151 |
5151 |
-46849 |
2 |
1 |
152 |
5304 |
-41392 |
3 |
1 |
153 |
5459 |
-35623 |
4 |
1 |
154 |
5616 |
-29536 |
5 |
1 |
155 |
5775 |
-23125 |
6 |
1 |
156 |
5936 |
-16384 |
7 |
1 |
157 |
6099 |
-9307 |
8 |
1 |
158 |
6264 |
-1888 |
9 |
1 |
159 |
6431 |
5879 |
10 |
1 |
160 |
6600 |
14000 |
Як
бачимо знак при
,
а при
,
то ми можемо говорити, що
і наступною цифрою буде
.
Для того, щоб знайти наступну цифру наступну цифру розкладемо дане рівняння на і виконаємо ті самі дії, що й для попередньої цифри.
Повний розклад рівняння на С=8 |
||||
y3+150y2+5000y-52000=0 |
||||
|
1 |
150 |
5000 |
-52000 |
8 |
1 |
158 |
6264 |
-1888 |
8 |
1 |
166 |
7592 |
|
8 |
1 |
174 |
|
|
Тепер знову помноживши отримані вільні члени на 10 в степені побудуємо нове рівняння, з якого будемо вираховувати наступну цифру нашого кореня:
.
Так як , то знову перевіримо значення даного полінома на відрізку , для того, щоб знайти цифру, на якій знак вільного члена зміниться, яка в свою чергу стане наступною цифрою кореня нашого полінома:
Перевірка рівняння, утвореного з вільних членів, на відрізку [0,10] |
||||
y3+1740y2+759200y-1888000=0 |
||||
|
1 |
1740 |
759200 |
-1888000 |
0 |
1 |
1740 |
759200 |
-1888000 |
1 |
1 |
1741 |
760941 |
-1127059 |
2 |
1 |
1742 |
762684 |
-362632 |
3 |
1 |
1743 |
764429 |
405287 |
4 |
1 |
1744 |
766176 |
1176704 |
5 |
1 |
1745 |
767925 |
1951625 |
6 |
1 |
1746 |
769676 |
2730056 |
7 |
1 |
1747 |
771429 |
3512003 |
8 |
1 |
1748 |
773184 |
4297472 |
9 |
1 |
1749 |
774941 |
5086469 |
10 |
1 |
1750 |
776700 |
5879000 |
Отже,
як бачимо з таблиці
,
а при
,
то ми можемо говорити що
.
Отже,
.
Повторимо ділення за схемою Горнера, для знаходження наступних цифр, а так як нам необхідно знайти лише 6 цифр даного кореня, то це буде останнє ділення за даною схемою. Поділимо наше рівняння на і побудуємо нове рівняння з отриманих коефіцієнтів:
Повний розклад рівняння на С=2 |
||||
y3+1740y2+759200y-1888000=0 |
||||
|
1 |
1740 |
759200 |
-1888000 |
2 |
1 |
1742 |
762684 |
-362632 |
2 |
1 |
1744 |
766172 |
|
2 |
1 |
1746 |
|
|
Отже, останнє рівняння буде:
.
Тепер
поділивши модуль вільного члена на
коефіцієнт при
,
отримаємо останні три цифри шуканого
числа:
В
результаті ми маємо всі цифри шуканого
кореня:
,
а так як ми виконали заміну, то
.
Отже, корінь даного полінома – це
.
Наведемо результати обчислень у програмі Mathcad:
Як бачимо, результати співпадають.
Із рівняння при підстановці , отримаємо →
→
,
а помноживши все рівняння на -1 отримуємо
.
Виконавши
пошук кореня для даного рівняння ми
побачимо, що знак змінюється при
,
отже перша цифра дійсного кореня
.
Пошук кореня |
||||
3y3-2y2-5y-7=0 |
||||
|
3 |
-2 |
-5 |
-7 |
2 |
3 |
4 |
3 |
-1 |
3 |
3 |
7 |
16 |
41 |
Щоб продовжити пошук наступної цифри, необхідно розкласти все рівняння на :
Повний розклад рівняння на С=2 |
||||
3y3-2y2-5y-7=0 |
||||
|
3 |
-2 |
-5 |
-7 |
2 |
3 |
4 |
3 |
-1 |
2 |
3 |
10 |
23 |
|
2 |
3 |
16 |
|
|
З утвореної, за рахунок множення вільних членів на 10 у відповідній степені,таблиці отримуємо коефіцієнти рівняння:
.
Так як , то перевіримо значення даного полінома на відрізку , щоб знайти цифру на якій знак вільного члена зміниться.
Переглянувши
таблицю, побачимо, що знак вільного
члена при
,
а при
,
отже, ми можемо говорити, що
,
і стверджувати, що наступною цифрою
кореня нашого поліному стане цифра -
.
Перевірка рівняння, утвореного з вільних членів, на відрізку [0,10] |
||||
3y3+160y2+2300y-1000=0 |
||||
|
3 |
160 |
2300 |
-1000 |
0 |
3 |
160 |
2300 |
-1000 |
1 |
3 |
163 |
2463 |
1463 |
2 |
3 |
166 |
2632 |
4264 |
3 |
3 |
169 |
2807 |
7421 |
4 |
3 |
172 |
2988 |
10952 |
5 |
3 |
175 |
3175 |
14875 |
6 |
3 |
178 |
3368 |
19208 |
7 |
3 |
181 |
3567 |
23969 |
8 |
3 |
184 |
3772 |
29176 |
9 |
3 |
187 |
3983 |
34847 |
10 |
3 |
190 |
4200 |
41000 |
Для того, щоб знайти наступну цифру наступну цифру розкладемо, так само як і попереднє, дане рівняння на :
Повний розклад рівняння на С=0 |
||||
3y3+160y2+2300y-1000=0 |
||||
|
3 |
160 |
2300 |
-1000 |
0 |
3 |
160 |
2300 |
-1000 |
0 |
3 |
160 |
2300 |
|
0 |
3 |
160 |
|
|
Повторивши множення утворених вільних членів, отримаємо коефіцієнти для нового рівняння:
Так як , то перевіримо значення даного полінома на відрізку , щоб знайти цифру на якій знак вільного члена знову буде змінюватись.
Отже,
як бачимо із таблиці значення вільного
члена при
,
а при
,
тому ми можемо говорити що, значення
вільного члена буде змінюватися на
відрізку
.
Таким чином, виходячи з попередніх
розрахунків, ми знайшли наступну цифру
кореня для даного полінома не і це -
.
Перевірка рівняння, утвореного з вільних членів, на відрізку [0,10] |
||||
3y3+1600y2+230000y-1000000=0 |
||||
|
3 |
1600 |
230000 |
-1000000 |
0 |
3 |
1600 |
230000 |
-1000000 |
1 |
3 |
1603 |
231603 |
-768397 |
2 |
3 |
1606 |
233212 |
-533576 |
3 |
3 |
1609 |
234827 |
-295519 |
4 |
3 |
1612 |
236448 |
-54208 |
5 |
3 |
1615 |
238075 |
190375 |
6 |
3 |
1618 |
239708 |
438248 |
7 |
3 |
1621 |
241347 |
689429 |
8 |
3 |
1624 |
242992 |
943936 |
9 |
3 |
1627 |
244643 |
1201787 |
10 |
3 |
1630 |
246300 |
1463000 |
Як і в попередньому прикладі повторимо ділення за схемою Горнера, для знаходження наступних цифр, і поділимо наше рівняння на , щоб побудувати нове рівняння:
Повний розклад рівняння на С=4 |
||||
3y3+1600y2+230000y-1000000=0 |
||||
|
3 |
1600 |
230000 |
-1000000 |
4 |
3 |
1612 |
236448 |
-54208 |
4 |
3 |
1624 |
242944 |
|
4 |
3 |
1636 |
|
|
Отже,утворимо останнє рівняння:
.
Тепер поділивши модуль вільного члена на коефіцієнт при , отримаємо останні три цифри шуканого числа:
В
результаті ми маємо всі цифри шуканого
кореня:
,
а так як ми виконали заміну, то
.
Отже,
корінь даного полінома – це
.
Результати обчислень в програмі Mathcad також співпадають, що свідчить про правильність розрахунків.
Наведемо результати обчислень у програмі Mathcadта лістинг програмної реалізації даного методу у С++.
Як бачимо, результати співпадають, а отже розрахунки проведено вірно.
Із рівняння при підстановці , отримаємо →
→
.
Виконавшипошук
кореня для даного рівняння ми побачимо,
що знак змінюється при
та
.
У обох випадках вільний член при
,
тобто від’ємний, а, отже, перша цифра
дійсного кореня
у обох випадках, але ми будемо шукати
лише перший корінь.
Пошук кореня |
|||||
y4+2y3+3y2-4y-1=0 |
|||||
|
1 |
2 |
3 |
-4 |
-1 |
-1 |
1 |
1 |
2 |
-6 |
5 |
0 |
1 |
2 |
3 |
-4 |
-1 |
1 |
1 |
3 |
6 |
2 |
1 |
Щоб продовжити пошук наступної цифри, необхідно розкласти все рівняння на :
Повний розклад рівняння на С=0 |
|||||
y4+2y3+3y2-4y-1=0 |
|||||
|
1 |
2 |
3 |
-4 |
-1 |
0 |
1 |
2 |
3 |
-4 |
-1 |
0 |
1 |
2 |
3 |
-4 |
|
0 |
1 |
2 |
3 |
|
|
0 |
1 |
2 |
|
|
|
Беручи дані зцієї таблиці і виконуючи вже знайоме нам множення вільних членів на 10 у відповідній степеніутворимо новерівняння:
..
Так як , то будемо перевіряти значення даного полінома на відрізку , для того, щоб знайти цифру на якій знак вільного члена зміниться і яка стане наступною цифрою кореня.
Як
бачимо, переглянувши таблицюзнак
вільного члена при
,
а при
,
отже, ми можемо говорити, що зміна
відбувається на відрізку
,
і будемо стверджувати, що наступна
цифракореня даного полінома -
.
Перевірка рівняння, утвореного з вільних членів, на відрізку [0,10] |
|||||
y4+20y3+300y2-4000y-10000=0 |
|||||
|
1 |
20 |
300 |
-4000 |
-10000 |
0 |
1 |
20 |
300 |
-4000 |
-10000 |
1 |
1 |
21 |
321 |
-3679 |
-13679 |
2 |
1 |
22 |
344 |
-3312 |
-16624 |
3 |
1 |
23 |
369 |
-2893 |
-18679 |
4 |
1 |
24 |
396 |
-2416 |
-19664 |
5 |
1 |
25 |
425 |
-1875 |
-19375 |
6 |
1 |
26 |
456 |
-1264 |
-17584 |
7 |
1 |
27 |
489 |
-577 |
-14039 |
8 |
1 |
28 |
524 |
192 |
-8464 |
9 |
1 |
29 |
561 |
1049 |
-559 |
10 |
1 |
39 |
951 |
10559 |
105031 |
Для того, щоб знайти наступну цифру наступну цифру розкладемо, так само як і попереднє, дане рівняння на :
Повний розклад рівняння на С=9 |
|||||
y4+20y3+300y2-4000y-10000=0 |
|||||
|
1 |
20 |
300 |
-4000 |
-10000 |
9 |
1 |
29 |
561 |
1049 |
-559 |
9 |
1 |
38 |
903 |
9176 |
|
9 |
1 |
47 |
1326 |
|
|
9 |
1 |
56 |
|
|
|
Повторивши множення утворених вільних членів, взятих із таблиці, отримаємо коефіцієнти для нового рівняння:
.
Так як , то перевіримо значення даного полінома на відрізку , щоб знайти цифру, на якій знак вільного члена знову буде змінюватись.
Отже,
як бачимо із таблиці значення вільного
члена при
,
а при
,
тому ми можемо говорити що, значення
вільного члена буде змінюватися, і як
бачимо це відбувається на відрізку
.
Таким чиномми знайшли наступну цифру
кореня і нею буде
.
Перевірка рівняння, утвореного з вільних членів, на відрізку [0,10] |
|||||
y4+560y3+132600y2+9176000y-5590000=0 |
|||||
|
1 |
560 |
132600 |
9176000 |
-5590000 |
0 |
1 |
560 |
132600 |
9176000 |
-5590000 |
1 |
1 |
561 |
133161 |
9309161 |
3719161 |
2 |
1 |
562 |
133724 |
9443448 |
13296896 |
3 |
1 |
563 |
134289 |
9578867 |
23146601 |
4 |
1 |
564 |
134856 |
9715424 |
33271696 |
5 |
1 |
565 |
135425 |
9853125 |
43675625 |
6 |
1 |
566 |
135996 |
9991976 |
54361856 |
7 |
1 |
567 |
136569 |
10131983 |
65333881 |
8 |
1 |
568 |
137144 |
10273152 |
76595216 |
9 |
1 |
569 |
137721 |
10415489 |
88149401 |
10 |
1 |
579 |
143511 |
11850599 |
206655391 |
Як і в попередньому прикладі проведемо останнє ділення за схемою Горнера, для знаходження наступних цифр, і поділимо наше рівняння на , для того, щоб побудувати нове рівняння:
Повний розклад рівняння на С=0 |
|||||
y4+560y3+132600y2+9176000y-5590000=0 |
|||||
|
1 |
560 |
132600 |
9176000 |
-5590000 |
0 |
1 |
560 |
132600 |
9176000 |
-5590000 |
0 |
1 |
560 |
132600 |
9176000 |
|
0 |
1 |
560 |
132600 |
|
|
0 |
1 |
560 |
|
|
|
А тепер утворимо останнє рівняння:
.
Тепер поділивши модуль вільного члена на коефіцієнт при , отримаємо останні три цифри шуканого числа:
В
результаті ми маємо всі цифри шуканого
кореня:
,
а так як ми виконали заміну, то
.
Отже,
корінь даного полінома – це
.
Звіримо з результатами виконання у програмі Mathcad і пересвідчимось, що вони співпадають.
Як видно на лістингу результати співпадають.
