МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ, МОЛОДІ ТА СПОРТУ УКРАЇНИ

ДЕРЖАВНИЙ ВИЩИЙ НАВЧАЛЬНИЙ ЗАКЛАД

«УЖГОРОДСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ»

Інженерно-технічний факультет

Кафедра комп’ютерних систем та мереж

Курсова робота

з дисципліни

«Програмування»

напрям підготовки 6.050102 – «Комп’ютерна інженерія»

Тема роботи

Програмна реалізація знаходження знаходження коренів нелінійного рівняння методом Горнера

Виконав Науковий керівник

студент 1-го курсу доц. Пойда В.Ю.

Банка Михайла Михайловича Робота допущена до захисту

«….»…………………2015 р.

Науковий керівник…………

Робота захищена

«….»…………………2015 р.

З оцінкою……………………

Науковий керівник…………

Ужгород – 2015

ЗМІСТ

ВСТУП 4

I. ІНДИВІДУАЛЬНЕ ТЕХНІЧНЕ ЗАВДАННЯ 5

II. МЕТОД ГОРНЕРА 6

III. ОПИС АЛГОРИТМУ 8

IV. ІНСТРУКЦІЯ ДЛЯ КОРИСТУВАЧА 28

ВИСНОВКИ 32

СПИСОК ВИКОРИСТАНОЇ ЛІТЕРАТУРИ 33

ДОДАТОК 1. Лістинг програми 34

ДОДАТОК 1. Блок-схема програми 37

ВСТУП

С++ ­- це мова програмування високого рівня. Її використовують для системного програмування, розробки програмного забезпечення, а також написання драйверів, серверних та розважальних програм.

Завданням даної курсової роботи є програмна реалізація знаходження коренів нелінійних рівнянь методом Горнера. Для написання даної програми необхідно ознайомитись із методом (схемою) Горнера, підібрати приклади для розв’язання і перевірки правильної реалізації даної програми. Написання даної програми буде виконано для даних цілочислового типу.

Написання даної програми на мові С++ проводиться у програмному середовищі VisualStudio 2012. Перевірка точності результату виконується вручну та у таких програмах як:Excel 2007 іMathcad 15.0.

1. Індивідуальне технічне завдання

У результаті виконання курсової роботи виконати:

1. Розробку програми, на мові С++, для знаходження коренів нелінійних рівнянь методом Горнера;

2. Перевірку коректності вводу та виводу даних;

3. Перевірку правильності виконання програми за допомогою програм Excel іMathcad та виконати перевірку в ручну;

4. Використати статичні масиви.

2. Метод горнера

Нехай дано поліном -їстепені

із дійсними коефіцієнтами . Припустимо, що необхідно знайти значення цього полінома при :

.

Розрахунок числа зручніше проводити наступним чином. Представимо формулу у вигляді:

).

Звідси, послідовно вираховуємо числа:

і знаходимо .

Доведемо, що числа є коефіцієнтамиполінома , отриманогов результаті ділення даного полінома на двочлен .

Нехай

і

,

при чому на основі теореми Безу залишок від ділення . Таким чином отримуємо:

,

або, відкривши дужки і згрупувавши однакові члени , отримаємо:

.

Порівнюючи коефіцієнти при однакових степенях змінної в лівій та правійчастинах останньої формули, отримаємо:

А звідсиотримуємо:

що, й потрібно було довести.

Таким чином, не проводячи ділення, використовуючи формули із табл.1, можна отримати коефіцієнти полінома , а також залишок . Схема, наведена в табл.1, по якій проводяться розрахунки називається схемою(методом) Горнера.

Також, використовуючи схему Горнера, можна отримати границі дійсних коренів даного полінома .

Припустимо, що при всі коефіцієнти в схемі Горнера будуть додатними, до того ж перший коефіцієнт буде більшим за 0, тобто:

і .

Т оді ми можемо стверджувати, що всі дійсні корені полінома знаходяться з лівої сторони від , тобто (рис.1.).

І справді, так як

,

то при будь-якому , виходячи з нашої умови будемо мати , тобто число, яке більше за , не є коренем даного полінома. Таким чином, ми зробили оцінку верхньої межі дійсних коренів полінома

Для того, щоб отримати оцінку нижньої межі необхідно скласти поліном наступним чином:

.

Для цього нового полінома знаходимо таке число ,щоб всі коефіцієнти у відповідній схемі Горнера були додатними, за винятком першого, який буде більшим за 0. Тоді, згідно з попередніми висновками для дійсних коренів полінома , очевидно, рівних , має місце нерівність .

Відповідно, . Таким чином, ми отримали нижню межу дійсних коренів полінома .

Звідси, ми можемо стверджувати, що дійсні корені полінома знаходяться на відрізку .