Глава 4. Теорема Хана – Банаха для вогнутых функционалов.

Основная теорема 4.1. Пустъ векторное пространство над .

(1) Если супераддитивный положительно однородный функционал, то для любого найдется , для которого и на ; в частности, допускает двойственное линейное представление на . (Известная классическая версия Теоремы Хана – Банаха в несколько иной форме).

(2) Если – вогнутый функционал, то для любого найдется функционал , для которого u на ; в частности, допускает двойственное аффинное представление на . (Основной полученный результат, более общий и требующий не линейных классов функционалов, а аффинных).

Доказательство. Для доказательства будет использована обобщенная

Теорема Хана-Банаха (о продолжении линейного функционала). Пусть - векторное пространство над , - вогнутый функционал, - векторное подпространство в . Допустим, что сужение функционала на минорирует функционал на . Тогда суще­ствует функционал с сужением , мажорирующий на .

Пусть , . Тогда нулевой линейный функционал на совпадает с сужением вогнутого функционала на и, в частности, сужение минорирует на . По Теореме Хана - Банаха существует функционал с сужением , мажорирующий на . Тогда аффинный функционал мажорирует на и удовлетворяет равенству .

Пусть теперь зафиксировано . Рассмотрим векторное подпро­странство . Сужение на можно рассматривать в этом случае как вогнутую функцию на одной переменной с . Тогда существует аффинная функция

на , где число и соответственно правая и левая производные функции в точке и в силу вогнутости функции По построению функция мажорирует функцию на и . Положим

.

Эти соотношения определяют линейный функционал на , который мажорирует вогнутый функционал

на и при этом

Отсюда по Теореме Хана-Банаха существует функционал с сужением , мажорирующий вогнутый функционал

на . Тогда аффинный функционал

мажорирует на и удовлетворяет равенству

,

что и требовалось.

Заключение.

В настоящей ВКР мы рассмотрели различные варианты теоремы Хана – Банаха. Были приведены классическая версия теоремы, теорема Хана-Банаха для комплексного случая, теорема Хана – Банаха для нормированных пространств и следствия из нее (теоремы о разделении выпуклых множеств).

Основную ценность представляет раздел, в котором нами получен полный аналог классической Теоремы Хана – Банаха для вогнутых функционалов, в котором роль линейных функционалов играют аффинные.

Представляет интерес распространение полученных в данной работе результатов на другие классы функционалов, в которых мы отказываемся в части требований, касающихся сублинейности. Например, от однородности или субаддитивности. Также интересно рассмотреть версии теоремы Хана – Банаха для алгебраических структур: групп, полугрупп, колец и т.д. Но это тема для дальнейших отдельных исследований.