2.3 Теорема Хана – Банаха в нормированном пространстве

Мы доказали общую теорему Хана – Банаха, согласно которой существует вещественный линейный функционал определенный на такой, что 1) служит продолжением т.е. для всех 2) вещественный линейный функционал, удовлетворяющий неравенству , вещественное линейное подпространство в

Применительно к нормированным пространствам эту теорему можно сформулировать так:

Пусть действительное нормированное пространство, его подпространство и ограниченный линейный функционал на

Этот линейный функционал может быть продолжен до некоторого линейного функционала на всем пространстве без увеличения нормы, т.е. так, что

Действительно, пусть

Ясно, что однородно-выпуклый функционал. Взяв его в качестве и применяя общую теорему Хана – Банаха, получим требуемый результат.

Укажем некоторые важные свойства, вытекающие из теоремы Хана-Банаха для нормированных пространств.

Замечание. Выпуклое множество в линейном пространстве называется выпуклым телом, если оно имеет непустое ядро. Можно показать, что в нормированном пространстве ядро множества совпадает с совокупностью его внутренних точек. Таким образом, в нормированном пространстве, выпуклое тело – это выпуклое множество, имеющее хотя бы одну внутреннюю точку.

Следствие 2.3.1.(первая теорема отделимости). Пусть и выпуклые множества в нормированном пространстве причем, хотя бы одно из них, скажем является выпуклым телом и его ядро не пересекается с Тогда существует ненулевой непрерывный линейный функционал, разделяющий и .

Следствие 2.3.2.(вторая теорема отделимости). Пусть замкнутое множество в нормированном пространстве точка, не принадлежащая Тогда существует непрерывный линейный функционал, строго разделяющий и .

Глава 3. Специальная версия аналитической формы Теоремы Хана - Банаха

Здесь мы рассматриваем случаи, когда минорируемый линейный функционал может принимать бесконечные значения.

Пусть – векторное пространство над полем вещественных чисел . Далее расширенная вещественная прямая с естественным отношением порядка и полурасширения соответственно вправо и влево.

Для множеств через обозначим множество всех отображений или функционалов, если это или одно из расширений , или функций, если . Для сужение на обозначим

Через обозначим пространство линейных функционалов на , т.е. для любых

Пусть векторное подпространство в . Функционал допускает двойственное представление (сверху) на векторе относительно , если

Если (1) выполнено для любого , то допускает двойственное линейное представление на

Функционал супераддитивный на , если для всех , . Поскольку суммы ( ) ( ) и в [ ] не определены, данное здесь опре­деление супераддитивности корректно только в двух случаях: когда образ

или

Функционал положительно однородный, если для всех и при этом . В частности, если - положительно однородный функционал и , то .

Функционал вогнутый, если неравенство

выполнено для всех и , . Из тех же соображений, что и при определении супераддитивности, определение вогнутости функционала корректно только в двух случаях (2). Символами обозначаем также и функционалы

,

Для пустого подмножества полагаем

При этом справедливо элементарное

Предложение 3.1. Пусть супераддитивный или вогнутый функционал на и существует вектор , для которого . Тогда в обозначениях (4) и допускает двойственное линейное представление (сверху) на .

Доказательство. Для произвольного вектора при супераддитивности имеем

а при вогнутости получаем

.

В силу (5) для функционала при получаем, что выполнено

(1)

(а из этого следует, что функционал допускает двойственное линейное представление (сверху) на векторе относительно (векторного подпространства в ) и двойственное линейное представление на .

Теперь в определение вогнутости неравенство (3) можно распространить и на случай , если в полагать

Через обозначаем векторное пространство над аффинных функционалов на , т.е.

для любых , . Каждый такой функционал однозначно представляется в виде , где и функция, равная тождественно 1, и наоборот, каждый функционал вида аффинный. Отметим также, что для любого функционал вогнутый, если и только если вогнутый функционал.

Функционал допускает двойственное аффинное представление (сверху) на векторе относительно подпространства , если

Если (6) выполнено для любого , то допускает двойственное аффинное представление на .

Пусть - функционалы, определенные на некотором множестве , со значениями в . Пишем , если для всех . Другими словами, мажоририет на S, или миноририет на S.