МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«БАШКИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

(БашГУ)

Факультет математики и информационных технологий

Кафедра высшей алгебры и геометрии

Смирнягина Анастасия Николаевна

Бакалаврская работа

Версии Теоремы Хана - Банаха

Направление 01.03.01 – Математика

К защите допущено: Научный руководитель:

заведующий кафедрой, Зав. кафедры высшей

д.ф.-м.н., профессор алгебры и геометрии,

профессор, д.ф.-м.н.

____________ Б.Н.Хабибуллин _______Б.Н.Хабибуллин

«___»______________2015 г. «___»___________2015 г.

Дата защиты: «___» _______2015 г.

Оценка: _______________________

Уфа – 2015

Содержание

«БАШКИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» 1

(БашГУ) 1

Кафедра высшей алгебры и геометрии 1

Смирнягина Анастасия Николаевна 1

Введение 4

5

Глава 1.Основные сведения, понятия и определения 5

Глава 2. Классические версии теоремы Хана – Банаха 10

2.1.Теорема Хана-Банаха о продолжении линейных функционалов в вещественных линейных пространствах. 10

2.2.Комплексный вариант теоремы Хана – Банаха 13

2.3 Теорема Хана – Банаха в нормированном пространстве 15

Глава 3. Специальная версия аналитической формы Теоремы Хана - Банаха 18

Глава 4. Теорема Хана – Банаха для вогнутых функционалов. 20

Заключение. 22

Список использованной литературы. 24

Введение 3

Глава 1.Основные сведения, понятия и определения 4

Глава 2. Классические версии теоремы Хана – Банаха 9

2.1.Теорема Хана-Банаха о продолжении линейных функционалов в вещественных линейных пространствах. 9

Следствие из теоремы 2.1 11

2.2.Комплексный вариант теоремы Хана – Банаха 12

2.3 Теорема Хана – Банаха в нормированном пространстве 14

Следствие 2.3.1.(первая теорема отделимости) 15

Следствие 2.3.2.(вторая теорема отделимости) 15

Глава 3. Специальная версия аналитической формы Теоремы Хана - Банаха 16

Предложение 3.1. 17

Глава. Теорема Хана – Банаха для вогнутых функционалов. 20

Основная теорема 3.1 20

Заключение. 22

Список использованной литературы. 23

Введение

Исторически под названием Теорема Хана-Банаха связывают несколько классических результатов функционального анализа: теорему о продолжении линейного функционала с сохранением мажоранты, теорему о разделении выпуклых множеств и теорему о непрерывном продолжении линейного функционала. Она названа в честь двух математиков Ганса Хана и Стефана Банаха, которые независимо получили этот результат в конце 20х годов 20-го века.

Мы рассматриваем как классические версии Теоремы Хана-Банаха, так и новые ее версии, в которых, в частности, для участвующих в ней функционалов допускаются значения .

Наше исследование ближе всего относится к теореме о продолжении линейного функционала.

В первом разделе мы приводим необходимые для понимания сведения, понятия и определения.

Во втором разделе обсуждаются классические известные версии Теоремы Хана-Банаха. Здесь мы также упоминаем о топологических версиях Теоремы Хана-Банаха (для нормированных пространств), но основные наши цели избегают топологии, используя только линейную структуру.

В следующем, основном разделе мы рассматриваем именно те случаи, когда участвующие в нем сублинейные функционалы могут принимать бесконечные значения. В этом разделе нами получен полный аналог классической Теоремы Хана – Банаха для вогнутых функционалов, когда роль линейных функционалов играют аффинные функционалы.

Глава 1.Основные сведения, понятия и определения

Определение 1.1. Линейным (векторным) пространством называется множество   произвольных элементов, называемых векторами, в котором определены операции сложения векторов и умножения вектора на число, т.е. любым двум векторам   и   поставлен в соответствие вектор  , называемый суммой векторов   и  , любому вектору   и любому числу   из поля действительных чисел  поставлен в соответствие вектор  , называемый произведением вектора   на число  и при этом выполняются следующие аксиомы линейного пространства:

1. (коммутативность сложения);

2. (ассоциативность сложения);

3. Существует такой элемент называемый нулевым вектором, что ;

4. Для каждого вектора существует такой вектор , называемый противоположным вектору , что ;

5. ;

6. ;

7. 

8. .

Условия 1-8 называются аксиомами линейного пространства. Знак равенства, поставленный между векторами, означает, что в левой и правой частях равенства представлен один и тот же элемент множества  . Такие векторы называются равными.

В определении линейного пространства операция умножения вектора на число введена для действительных чисел. Такое пространство называют линейным пространством над полем действительных (вещественных) чисел, или, короче, вещественным линейным пространством. Если в определении вместо поля   действительных чисел взять поле комплексных чисел  , то получим линейное пространство над полем комплексных чисел, или, короче, комплексное линейное пространство. В качестве числового поля можно выбрать и поле   рациональных чисел, при этом получим линейное пространство над полем рациональных чисел.

Определение 1.2. Непустое подмножество линейного пространства называется подпространством, если оно само образует линейное пространство по отношению к определенным в операциям сложения и умножения на число.

Иначе говоря, есть подпространство, если из следует, что и .

Во всяком линейном пространстве имеется подпространство, состоящее из одного нуля – нулевое подпространство. С другой стороны, все можно рассматривать как свое подпространство. Подпространство, отличное от и содержащее хотя бы один ненулевой элемент называется собственным.

Определение 1.3.Линейные функционалы. Числовую функцию , определенную на некотором векторном пространстве , будем называть функционалом. Функционал называется аддитивным, если

он называется однородным, если

Функционал , определенный в комплексном линейном пространстве называется сопряженно-однородным, если комплексно сопряженное

Аддитивный однородный функционал называется линейным функционалом. Аддитивный сопряжено-однородный функционал называется сопряжено линейным, а иногда полулинейным.

Пусть - линейное множество. Отображение называется линейным функционалом, если

Определение 1.4. Линейное пространство называется нормированным, если любому элементу поставлено в соответствие число, называемое нормой, и обозначаемое и при этом выполнены следующие условия:

1. 

2. 

3. 

Определение 1.5. Пусть линейное пространство. Линейный функционал непрерывен в точке , если .

Определение 1.6. Пусть – некоторое линейное действительное пространство и – две его точки. Назовем замкнутым отрезком в , соединяющим точки , совокупность всех элементов вида

Отрезок без концевых точек называется открытым отрезком.

Множество называется выпуклым, если оно вместе с любыми двумя точками содержит и соединяющий их отрезок.

Определение 1.7. Пусть действительное линейное пространство. Определенный на функционал называется выпуклым если

Функционал называется положительно-однородным если

Для выпуклого положительно-однородного функционала выполнено неравенство:

Действительно

Условие (2) и условие (3) обеспечивают выпуклость функционала . Положительно-однородный выпуклый функционал называют еще однородно-выпуклым.

Всякий линейный функционал является однородно-выпуклым.

Некоторые свойства однородно – выпуклых функционалов:

1. Полагая в равенстве (2), получаем

2. Из (3) и (4) следует, что

3. При любом

Определение 1.7. Функция называется сублинейным функционалом, если

1. ;

2. .