Метод Неймана

Для получения последовательности с заданной плотностью распределения можно использовать метод Неймана. Из датчика равномерно распределенных в интервале (0, 1) случайных чисел независимо выбираются пары чисел  , из которых формируются преобразованные пары  ,  ,  где 

 — интервал возможных значений случайной величины   с заданной функцией плотности  ;   — максимальное значение функции  . В качестве реализации случайной величины берется число   из тех пар  ,   которых выполняется неравенство:

.

Пары, не удовлетворяющие неравенству , выбрасываются.

Пары случайных чисел  ,   можно рассматривать как координаты случайных точек плоскости, равномерно распределенных вдоль осей   и   внутри прямоугольника   (см. рис.). Пары  ,  , удовлетворяющие неравенству, — это координаты случайных точек плоскости, равномерно распределенных вдоль осей   и   внутри той части прямоугольника  , которая расположена под кривой  . Вероятность того, что случайная точка плоскости, находящаяся под кривой  , окажется в элементарной полосе с основанием  , очевидно, пропорциональна  , а вероятность попадания точки под кривую   по условию равна единице, что и требуется.

 

Метод кусочной аппроксимации

Сущность этого метода состоит в следующем. Пусть требуется получить случайную величину   с функцией плотности  . Предположим, что область возможных значений величины   ограничена интервалом   (неограниченное распределение можно приближенно заменить ограниченным). Разобьем интервал   на   достаточно малых интервалов  , так, чтобы распределение заданнойслучайной величины в пределах этих интервалов можно было довольно точно аппроксимировать каким-нибудь простым распределением, например равномерным, трапецеидальным и т. д. В дальнейшем рассмотрим кусочную аппроксимацию равномерным распределением (рис. 1.3).

Пусть   — вероятность попадания случайной величины   в каждый из интервалов  . Получать реализации величины   с кусочно-равномерным распределением можно, очевидно, в соответствии со следующей схемой преобразования случайных чисел: 1) случайным образом с вероятностью   выбирается интервал  ; 2) формируется реализация   случайной величины, равномерно распределенной в интервале  ; 3)  искомая реализация   получается по формуле

.

Случайный выбор интервала   с вероятностью   означает, по существу, моделированиедискретной случайной величины, принимающей   значений  , с вероятностью   каждое, что можно сделать достаточно просто [11]. Интервал   разбивается на   интервалов  длиной   каждый. Из датчика случайных равномерно распределенных в интервале (0, 1) чисел выбирается некоторая реализация  . Путем последовательного сравнения   с   определяется тот интервал  , в котором оказывается  .

Рис. 1.3.

В основу этого процесса положен очевидный факт: вероятность попадания равномерно распределенной в интервале  случайной величины в некоторый подинтервал   равна длине этого подинтервала. Рассмотренный выше процесс представляет интерес не только как составной элемент метода кусочной аппроксимации, он широко используется в качестве алгоритма для моделирования дискретных случайных величин и случайных событий [10, 11].

Для моделирования случайных величин методом кусочной аппроксимации наиболее удобно при машинной реализации выбирать вероятности попадания во все интервалы   одинаковыми  , а число   таким, что  , где   — целое число, меньше или равное количеству двоичных разрядов чисел, вырабатываемых датчиком случайных чисел [10, 11]. В этом случае величины   должны быть выбраны такими, чтобы

.

При равенстве вероятностей   для случайного выбора индекса   можно использовать первые   разрядов числа, извлекаемого из датчика равномерно распределенных случайных чисел.

Используя рассмотренный прием, приходим к следующему способу преобразования равномерно распределенных случайных чисел в случайные числа с заданным законом распределения.

Из датчика равномерно распределенных в интервале (0, 1) случайных чисел извлекается пара реализаций  . Первые   разрядов числа   используются для нахождения адресов ячеек, в которых хранятся величины   и  , а затем по формуле

получается реализация   случайной величины   с заданным законом распределения. Такой алгоритм является довольно экономичным по количеству требуемых операций, которое не зависит от числа  , т. е. не зависит от точности кусочной аппроксимации. Однако с увеличением точности аппроксимации возрастает количество ячеек памяти, требуемое для хранения величин  ,  , что является недостатком рассмотренного метода, в особенности при больших  .