Министерство образования и науки Российской Федерации

Санкт-Петербургский политехнический университет

Институт информационных технологий и управления

Кафедра систем и технологий управления

Реферат

Дисциплина: Теория случайных процессов

Тема: Генерирование случайных событий

 

Выполнила студент гр.33503/3 Горохова А.Р.

Руководитель, проф. Смирнов Ю.М.

Санкт-Петербург

2015

Содержание

1. Введение…………………………………………………………………3

2. Случайные величины………….……………………………………….. 4

3. Случайные события.…………………………………………………….5

• Генерирование случайных событий ..……………………………5

• Метод Неймана……………………………………………………...7

• Метод кусочной аппроксимации…………………………………..8

4. Моделирование в среде MatLab…..…………………………………………………..10 

5. Моделирование в среде Mathcad …………………………………………………….14

6. Моделирование в среде Wolfram Mathematics………………………17

7. Список литературы…………………………………………………... 19

Введение

В ряде задач имитационного моделирования возникает необходимость генерации случайных явлений для анализа функции проектируемых объектов на них. Процесс функционирования любой системы носит случайный характер, и его имитация требует выработки большого числа случайных чисел. Также важными являются два вопроса: генерация случайных явлений (событий) с заданными свойствами и проверка соответствия свойств заданной генерируемой последовательности.

Случайные величины

Алгоритмы формирования последовательностей случайных чисел, распределенных по некоторому закону, предполагают наличие базовой последовательности случайных чисел. В качестве такой принята последовательность случайных чисел, равномерно распределенных в интервале (0,1). Действуя на эту последовательность специально подобранными функциями, можно получить случайную величину с любым заданным законом распределения.

Формирование равномерно распределенной случайной величины

Плотность вероятности равномерно распределенной в интервале (0,1) случайной величины имеет следующий вид:

 

а функция распределения

 

При этом математическое ожидание и дисперсия равны соответственно:

M[X]=1/2 , D[X]=1/12.

Идея формирования равномерно распределенной случайной величины заключается в следующем.

Пусть дискретная случайная величина Zi принимает только два значения 0 и 1 с равными вероятностями, т.е.

P(Zi =0)=P(Zi =1)=1/2.

Рассмотрим бесконечную последовательность Z1 ,..., Zn ,...таких величин, независимых между собой, и будем считать их двоичными знаками некоторого числа X, равного

Очевидно, что все значения X лежат в пределах 0<=x<=1.

При этом

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Следовательно, величина X равномерно распределена в (0,1). Таким образом, для формирования значений случайной величины, равномерно распределенной в (0,1), нужно сформировать бесконечную последовательность случайных чисел, с равной вероятностью принимающих значения 0 и 1, и считать их двоичными знаками дроби X, являющейся искомым значением.

Существует два способа формирования случайных чисел на ЭВМ. Первый способ предполагает их выработку с помощью специальных электронных приставок, датчиков, связанных с ЭВМ. Вторым способом является генерирование чисел самой машиной специальным алгоритмом.

 

Случайные события

Случайные события являются простейшими случайными объектами. Случайное событие – это событие, которое может произойти или не произойти при осуществлении определенного комплекса условий. Понятие события является первичным при изучении окружающего мира и определяется оно тем, происходит или не происходит данное явление.

Пусть некоторое событие A должно наступить с вероятностью p. Чтобы реализовать случайное событие A, необходим генератор случайных чисел, определяющий значения x_i случайной величины , равномерно распределенной в интервале (0, 1). Переменная величина называется случайной, если в результате опыта она может принимать действительные значения с определёнными вероятностями.

Событие A будет состоять в том, что выбранное значение x_i случайной величины  удовлетворяет неравенству

x_i  p (1)

Если вероятность наступления события A равна P(A) = p, то для противоположного события x_i>p, так как вероятность P( ) = 1 – p. События A и образуют полную группу событий.

Процедура моделирования может состоять в генерации равномерно распределенных случайных чисел x_i и сравнении их со значением p. Если условие (1) выполняется, то событие A наступило. Если условие (1) не выполняется, то событие A в этом опыте не произошло (произошло событие ).

Таким же образом можно рассмотреть группу событий. Пусть A₁,A₂,…,A_s – полная группа событий, т.е. исходом испытания обязательно будет одно из этих событий. Эти события могут наступить с вероятностями p₁, p₂, …, p_s соответственно, причем p₁ + p₂ + …+ p_s = 1. Событие A_m будет определено тем, что выбранное значение x_i равномерно распределенной на отрезке (0, 1) случайной величины  будет удовлетворять неравенству

L_m-1 < x_i  L_m, (1.12)

где , m=1,2,…,s, и L₀=0.

Вероятность наступления события A_m будет равна p(A_m)=L_m ‑ L_m‑1 = p_m .

Можно сказать, что событие A_m наступает при попадании случайного числа x_i в область (L_m-1 , L_m] единичного отрезка (0,1), которая выбирается так, как это показано на рис.

Рассмотрим пример модели имитации случайных событий. При подбрасывании игральной кости возможно наступление одного из шести событий, образующих полную группу событий A₁, A₂, A₃, A₄, A₅, A₆. При равновероятном наступлении событий соответствующие вероятности p_k и пороги L_k приведены.

N
Ai	A1	A2	A3	A4	A5	A6
pi	p1=1/6	p2=1/6	p3=1/6	p4=1/6	p5=1/6	p6=1/6
Li	L1=1/6	L2=2/6	L3=0,5	L4=4/6	L5=5/6	L6=1

Пусть получено случайное число x₁=0,344. Проверяем условия наступления событий. Условие L₀<0,344L₁ не выполняется, не выполняется также условие L₁<0,344L₂. Условие L₂<0,344L₃ выполняется, т.к. 0,333<0,344<0,5, поэтому произошло событие A₃ –выпало 3 очка.