18. Методика изучения стереометрии.

При изучении аксиом важно, чтобы учащиеся поняли абстрактный характер геометрических понятий, увидели процесс абстра­гирования в действии, научились замечать его в жизни Построение системы аксиом стереометрии происходит по двум направлениям:

1) переформулирование аксиом планиметрии для пространства;

2) добавление новых “специфических” аксиом стереометрии.

Методическая схема изучения акси­ом стереометрии:

- разъяснить абстрактный характер геометри­ческих понятий;

- разъяснить сущность аксиом и их роль в пост­роении геометрии, сформулировать аксиомы;

- проиллюстриро­вать аксиомы на моделях (использовать стереометрический ящик, «геометрию» классной комнаты);

- закрепить аксиомы путем ло­гического анализа их формулировок;

- закрепить аксиомы в процессе их применения к выводу первых следствий геометрии.

Параллельность прямых в пространстве, вводятся определения ( Две прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются), доказываются теорема о параллельных прямых ( Через любую точку пространства, не лежащую на данной прямой, проходит прямая, параллельная данной и притом только одна).

Затем дается лемма о пересечении плоскости параллельными прямыми ( если одна из двух параллельных прямых пересекает данную плоскость, то и другая прямая пересекает эту плоскость) и теорема( если две прямые параллельные третьей прямой, то они параллельны). Далее рассматривается параллельность прямой и плоскости.

Перпендикулярность прямых в пространстве. Две прямые называются перпендикулярными в пространстве, если угол между ними равен 90 .

Лемма ( о перпендикулярности двух параллельных прямых к третьей прямой ):

Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к третьей прямой, то и другая прямая перпендикулярна к этой прямой.

Признак перпендикулярности:

Если прямая, пересекающая плоскость, перпендикулярна к двум прямым в этой плоскости, то она перпендикулярна к плоскости

19. Методика изучения понятия производной в школьном курсе математики.

Введение понятия производной необходимо связать с основной проблемой дифференциального исчисления – проблемой исследования процесса изменения функции.

1. Приступая к изучению понятия производной,

целесообразно:

а) повторить все вопросы, связанные с линейной функцией и элементарными функциями, так как основная идея дифференциального исчисления – представление о функции как о линейной в достаточно малой окрестности некоторой точки;

б) отработать такие понятия как приращение функции и приращение аргумента. Это понятие иллюстрируется с помощью графиков функций;

в) важно не просто ввести понятие приращения, но выработать у учащихся твердые навыки в их нахождении, с этой целью можно предложить учащимся ряд задач по нарастанию трудности;

г) выяснить геометрический смысл отношение приращения функции к приращению аргумента, ввести понятие касательной к кривой как предельного положения секущей. После того как эти понятия отработаны. Переходят к введению понятия производной.

2. В предыдущих учебных пособиях введение этого понятия начинали с решения задач физического содержания и необоснованно отрывали геометрический смысл от производной. Лучший вариант – это рассмотреть задачу о мгновенной скорости, о геометрическом смысле производной именно на этапе введения производной.

3. Вопросы приложения производной в школе оправдано лишь в том случае, если оно применяется. Основные направления применения: к решению задач на отыскание наименьшего и наибольшего значения функции на интервале, к исследованию функций, к решению физических задач, к приближенным вычислениям, к построению касательной.

Основная цель изучения темы: ввести понятие производной, научить находить производные элементарных функций, ознакомить учащихся с простейшими методами дифференцирования функций и выработать умение применять их для исследования функций, построение графика, решение задач прикладного характера.

Ввести понятие производной можно по-разному: классическим в этом отношении являются задачи: вычисление мгновенной скорости движения с переходом на нахождение скорости и изменение функции в точке; вычисление углового коэффициента касательной к графику функции в данной точке. Функция, имеющая производную в точке х0 называется дифференцируемой  в точке х0. Операция нахождения производной в точке х0 называется дифференцированием. При введении понятия производной в учебнике Колмогорова реализуются 2 подхода. В пункте приращение функций вводится понятие приращения аргумента и приращения функции. С помощью введенных обозначений выражается средняя скорость движения за некоторый промежуток времени.

В следующем пункте дается понятие о производной, предварительно рассматривается понятие о касательной к графику функции. Дальше ставится задача определить точное положение касательной, т.е. найти угловой коэффициент касательной и сравнивается с задачей нахождения мгновенной скорости. Делается обобщение на любую функцию заданную с помощью формулы и дается определение производной.