Шпоры ВычМат Хорошие! [2424 вопросов] / 15

15. В чем отличие МКЭ (МЕТОД КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ) от классического метода сеток? Как построить конечно-разностную схему по МКЭ задачи Дирихле для одномерного уравнения второго порядка?

МКЭ представляет собой синтез метода сеток и проекционного метода Галеркина с выбором базиса из финитных функций, носители которых (конечные элементы) покрывают каждый узел сетки. В результате применения к такому базису проекционной процедуры получается система алгебраических уравнений, аналогичная той, к которой приводят сеточные методы – матрица ленточная, количество неизвестных равно количеству узлов сетки.

Поэтому можно сказать, что МКЭ – это тот же классический метод сеток, в котором конечно-разностная схема получается в результате применения проекционной процедуры к базису из финитных функций, привязанных к каждому узлу сетки. Такой способ получения конечно-разностной схемы позволил избавиться от основного недостатка классического метода сеток – привязки узлов сетки к координатным линиям, что позволило в случае многомерных задач гибко адаптировать сетку к произвольной форме границ и особенностям искомого решения.

Рассмотрим реализацию МКЭ на решении простейшей задачи одномерной краевой задачи Дирихле для ОДУ второго порядка

ми