4.Вращательное движение твёрдого тела

Враща́тельное движе́ние — вид механического движения. При вращательном движении абсолютно твёрдого тела все его точки описывают окружности, расположенные в параллельных плоскостях. Центры всех окружностей лежат при этом на одной прямой, перпендикулярной к плоскостям окружностей и называемой осью вращения. Ось вращения может располагаться внутри тела и за его пределами. Ось вращения в данной системе отсчёта может быть как подвижной, так и неподвижной. Например, в системе отсчёта, связанной с Землёй, ось вращения ротора генератора на электростанции неподвижна.

При выборе некоторых осей вращения, можно получить сложное вращательное движение — сферическое движение, когда точки тела движутся по сферам. При вращении вокруг неподвижной оси, не проходящей через центр тела или вращающуюся материальную точку, вращательное движение называется круговым.

Кинематические характеристики

Вращение характеризуется углом  , измеряющимся в градусах или радианах, угловой скоростью   (измеряется в рад/с) и угловым ускорением   (единица измерения — рад/с²).

При равномерном вращении (T — период вращения),

• Частота вращения (угловая частота) — число оборотов в единицу времени.

,

• Период вращения — время одного полного оборота. Период вращения   и его частота   связаны соотношением  .

• Линейная скорость точки, находящейся на расстоянии R от оси вращения

,

• Угловая скорость вращения тела — векторная величина.

.

Динамические характеристики[править | править вики-текст]

Свойства твердого тела при его вращении описываются моментом инерции твёрдого тела. Эта характеристика входит в дифференциальные уравнения, полученные из уравнений Гамильтона или Лагранжа. Кинетическую энергию вращения можно записать в виде:

.

В этой формуле момент инерции играет роль массы, а угловая скорость — роль скорости. Момент инерции выражает геометрическое распределение массы в теле и может быть найден из формулы  .

Момент инерции — физическая величина, мера инертности тела во вращательном движении. Характеризует распределение масс в теле. Различают осевой и центробежный момент инерции. Осевой момент инерции определяется равенством:

,

где: m_i — масса i-й точки, r_i — расстояние от i-й точки до оси.

5. Устойчивость продольно сжатого стержня. Формула Эйлера Под устойчивостью системы следует понимать ее свойство сохранять свое состояние при внешних воздействиях на нее.  Для надежной работы конструкции мало , чтобы она была прочной. Надо , чтобы все ее элементы были устойчивыми. Поэтому в целом ряде случаев , в частности , для сжатых стержней , кроме проверки на прочность , необходима проверка на устойчивость.  Инженерные объекты , кроме нагрузок , учитываемых расчетом , всегда подвергаются дополнительным малым действиям ( возмущением ) , которые стремятся вывести данное тело с его расчетного состояния равновесия или движения. В подобном состоянии может находиться сжатый стержень, теряет устойчивость .  Рассмотрим достаточно длинный по сравнению с его поперечными размерами стержень , шарнирно - закрепленный на опорах ( Рис.1 , а ) . 

рис.1

Нагрузим стержень сверху центральной постепенно возрастающей силой. Если сила будет небольшой , стержень сохранять прямолинейную форму. При попытках отклонить его в сторону , например , путем приложения горизонтальной силы, действующей кратковременно , он после нескольких колебаний возвращаться к первоначальной прямолинейной формы , как только будет удалена дополнительная сила , вызвавшая отклонение . Такая форма упругого равновесия называться устойчивой .  При постепенном увеличении силы стержень все медленнее возвращаться к первоначальному состоянию прямолинейной формы упругого равновесия при попытках его отклонения. Наконец , можно доказать силу до такой величины , при которой стержень , после незначительного его отклонение в сторону , уже не выпрямится , а останется искривленным . Если, удаляя силы , выпрямить стержень , он уже , как правило , не сможет сохранить прямолинейную форму. Такое положение стержня называться критическим , при котором деформированный стержень находится в равнодушной равновесии : он может сохранить сначала приданную ему форму , но может и потерять ее от самой незначительной действия . Наименьшая сжимающие сила , превышение которой вызывает потерю устойчивости первоначальной прямолинейной формы упругого равновесия стержня , называется критической и обозначается буквой ( Рис.1 , б).  Переход к критическому состоянию происходит внезапно: если мы немного уменьшим сжимающие силу по сравнению с ее критической величиной , как прямолинейная форма равновесия снова становится устойчивой .  С другой стороны , достаточно очень незначительного превышения сжимающие силой ее критического значения прямолинейная форма стержня становится крайне неустойчивой . Достаточно небольшого эксцентриситета приложения силы или неоднородности материала по сечению , чтобы стержень искривился , и не только не вернулся к прежней форме , а продолжал искривляться под действием все возрастающих при искривлении изгибающих моментов . Процесс искажения заканчивается или достижением совершенно новой (устойчивой ) формы равновесия , или разрушением .  Таким образом , неустойчивой формой упругого равновесия называется такое состояние стержня , когда деформирован стержень , будучи выведенным из него какой-либо побочным действием , стремится продолжать деформироваться в направлении данного ему отклонения и после удаления действия побочного силы в исходное состояние не возвращается.  Потерю устойчивости прямолинейной формы сжатого стержня иногда называют " продольным сгибанием " , поскольку значительное искривление стержней происходит под действием продольных сил. Появление продольного сгибания опасна тем , что при нем происходит очень сильное нарастание прогиба стержня при малом нарастании сжимающей силы . Прогиб и нагрузки связаны между собой нелинейной зависимостью. Быстрое нарастание прогиба вызывает быстрое нарастание напряжений от изгиба , которые в свою очередь приводят к ускорению деформаций и часто к разрушению стержня . Следует отметить , что причину возникновения продольного сгибания необходимо связывать не с величиной временного действия побочного силы на стержень , а с величиной сжимающей силы .   Таким образом , продольное изгиб опасным , его допускать нельзя. Можно утверждать , что достижение сжимающие силой критического значения соответствует разрушению конструкции , поскольку неустойчивая форма неизбежно будет потеряна . Особая опасность разрушения вследствие потери устойчивости , как это уже отмечалось выше , состоит в том , что обычно разрушение происходит внезапно и при низких значениях напряжений , когда прочность элемента еще далеко не исчерпана. Деформации очень быстро нарастают и практически не остается времени для принятия мер по предотвращению грозящей катастрофы . Таким образом , критическая сила при расчете на устойчивость подобная разрушающему нагрузке при расчете на прочность.  Чтобы обеспечить запас устойчивости для сжатого стержня нужно , чтобы сжимающие сила, действующая на стержень , не превышала допустимой величины, определяемой по формуле :  ( 1 )  где  коэффициент запаса устойчивости .  Итак , чтобы выполнить расчет сжатого стержня на устойчивость , необходимо уметь определять для него величину критической силы .  Формула Эйлера для определения критической силы сжатого стержня . Влияние способов закрепления концов стержня на величину критической силы  Задача определения критической силы для сжатого стержня впервые была решена в 1744 году выдающимся математиком Леонардом Эйлером . Формула для критической силы была выведена Эйлером на примере идеального прямого стержня постоянного сечения , шарнирно закрепленного на концах (Рис.2).                                     

рис.2

Одна из опор стержня допускает возможность продольного перемещения соответствующего конца стержня . Собственный вес стержня не учитывалась . Искомая формула выглядела :  ( 2 )  Формула Эйлера ( 2) для критической силы выводилась для стержня с шарнирным закрепления концов . Этот случай закрепления концов стержня принято называть основным случаем. В этом случае на длине стержня укладывается одна полуволна синусоиды. Однако , в практике встречаются различные другие случаи закрепления концов стержня . На рис.3 приведены некоторые из них , которые наиболее часто встречаются . 

рис.3

Для определения значения критической силы для каждого из приведенных случаев закрепления концов на практике применяется способ , который использует геометрическую аналогию между поведением упругой линии сжатого стержня с шарнирным закреплением концов ( основной случай) и другим способом закрепления концов стержня . Согласно этим способом все остальные случаев закрепления концов стержня сводится к основному путем введения так называемой сводной или свободной длины стержня .  Сводной или свободной длиной стержня называется условная длина шарнирно закрепленного стержня, имеет такую ​​же критическую силу , как и стержень с заданным закреплением концов. Судить о сводную длину стержня можно по числу полуволн , которые укладываются на длине стержня . С геометрической аналогии следует , что в пределах сводной длины стержень с произвольным закреплением концов вести себя так же , как стержень с шарнирным закреплением концов.  Сводная длина стержня вычисляется следующим образом : , где  длина стержня с заданным закреплением концов;  коэффициент сводной длины.  Из определения сводной длины следует , что коэффициент есть такое число , на которое необходимо умножить длину стержня с заданным закреплением концов , чтобы получить такую ​​длину условного стержня с шарнирным закреплением концов , на котором заключается одна полуволна синусоиды.  Для стержня , изображенного на рис.3 , а длина условного стержня с шарнирным закреплением концов должно быть в два раза больше , чем заданная длина стержня . Верхняя часть условного стержня с шарнирным закреплением концов вести себя точно так же, как и стержень с заданным закреплением концов. Коэффициент возведения длины для этого случая равна . На рис.3 , в одна полуволна размещается на длине , составляющей 0,7 реальной длины стержня . Коэффициент возведения длины в этом случае составляет . Для случая жесткого закрепления обоих концов стержня ( Рис.3 , г ) длина полуволны , замеренная между двумя точками перегиба , составляет половину длины стержня . Для этого случая коэффициент. Для основного случая ( Рис.3 , б) коэффициент , поскольку на его длине укладывается одна полуволна и , следовательно , сведена длина стержня равна реальной его длине.  Преобразуем формулу Эйлера ( 2 ) , подставляя в нее вместо реальной длины стержня сводную длину. Получаем формулу Эйлера для критической силы в окончательном виде :  ( 3 )  На рис.3 приведены значения критической силы для стержней с различными условиями закрепления концов при одинаковых начальной длине и жесткости поперечного сечения . Следует отметить , что наибольшее значение критическая сила достигает для стержня с жестким закреплением концов ( Рис.3 , г). В этом случае критическая сила оказывается в четыре раза больше , чем для основного случае закрепления концов . Наименее эффективным типом закрепления концов стержня является случай , приведенный на рис.3 , а . Критическая сила в этом случае оказывается в четыре раза меньше , чем для основного случая.

6.Структурный анализ плоского механизма. Формула Чебышева Механизмом называется механическая система тел, в которой заданныедвижения одного или нескольких тел преобразуются в необходимое движениедругих тел. Таким образом, механизмы служат для преобразованиядвижения. Механизмы часто являются составной частью машины (см. определение ма-шины в [1]) преобразуя движение ее двигателя в необходимое движение рабочего органа. Рассмотрим структуру механизма на примере кривошипно-ползунного механизма (рис.1). Механизм состоит из звеньев 1, 2, 3 и 4  которые представляют одну деталь или груп- пу жестко соединенных деталей, имеющих общий закон движения. Звено 1 – ведущее звено, закон движе- ния которого задан. Это звено также называют входным звеном. Оно всегда обозначается со стрелкой. Звенья 2, 3 – ведомые звенья; звено 3 – называют также исполнительным или выходным звеном. Оно совершает движение для получения, которого по- лучен механизм. Звено 4 – стойка или базовое звено, на котором устанавливаются осталь- ные звенья. Движение всех звеньев в механизме рассматривается относительно стойки.

Определение степени подвижности плоского механизма

Степень подвижности плоских механизмов определяется по формуле П. Л. Чебышева:

W = 3n – 2P₅ – P₄ (1.1)

где: W – степень подвижности механизма;

n – число подвижных звеньев механизма;

P₅ – число кинематических пар пятого класса;

P₄ – число кинематических пар четвертого класса.

Степень подвижности механизма определяет число ведущих его звеньев, т. е. количество звеньев, которым необходимо задать движение, чтобы все остальные звенья двигались по вполне определенным законам.