1.Сущность метода проекций. Центральное и параллельное проецирование

МЕТОД начертательной геометрии — проецирование пространственных фигур на плоскость.

1. Центральное проецирование

Наиболее общий случай проецирования осуществляется связкой лучей, исходящих из одной точки (рис. 1).

Аппарат центрального проецирования:

 — плоскость проекций; O   — центр проекций;

A[(A  )  (A  O) — проецируемая точка;

[OA) — проецирующий луч;

A^ = [OA)   — центральная проекция точки А на плоскость ;

l^ = (OAB)   — центральная проекция прямой l на плоскость .

Рис. 1

Обратимости нет. Одна центральная проекция точки не позволяет судить о положении точки в пространстве. А^ = D^

2. Параллельное проецирование

Частный случай центрального проецирования с центром проекций, находящимся в бесконечности (в несобственной точке O). Осуществляется связкой лучей заданного направления S (рис. 2).

Аппарат параллельного проецирования:

  плоскость проекций;

S — направление проецирования;

[O_A][O_B] S

A^ = [OA]  — параллельная проекция точки А на плоскость ;

l^ = (AA^BB^ )   —параллельная проекция прямой на плоскость .

Обратимости нет. Одна центральная проекция точки не позволяет судить о положении точки в пространстве. А = D

Рис. 2

2. Аксонометрические проекции в начертательной геометрии.

Аксонометрическая проекция — один из способов изображения пространственных фигур на плоскости. Этот вид проекций обладает большой наглядностью и является обратимым изображением. Слово “аксонометрия”в переводе с греческого означает “измерение по осям”.

3. Аксонометрическое проецирование

Сущность способа аксонометрического проецирования показана на рис. 8: геометрическая фигура (предмет) вместе с осями прямоугольных (декартовых) координат, к которым она отнесена в пространстве, параллельно проецируется на картинную плоскость (аксонометрическую плоскость).

Рис. 3

На рис. 8 обозначено:

 — картинная (аксонометрическая) плоскость;

О_x,О_y,О_z — натуральные (декартовы) оси координат;

s — направление проецирования;

^o — угол проецирования;

О_x,О_y,О_z — проекции натуральных осей координат на картинную плоскость — аксонометрические оси;

А^o₁ — аксонометрическая проекция точки А;

А’₁ — вторичная проекция (горизонтальная) точки А.

Для определения точки А на аксонометрической проекции (в аксонометрии) необходимо кроме аксонометрической проекции этой точки иметь ее вторичную проекцию, например, горизонтальную А₁, причем прямая А^oА’₁ должна быть параллельна аксонометрической оси z^o.

Аксонометрическая проекция точки А и ее вторичная проекция А₁ (рис. 9) однозначно определяют положение точки в пространстве, что делает аксонометрическую проекцию обратимой. Если вторичная проекция не задана, ее можно будет задать произвольно, например, в точке А’₂, и тогда координаты x_А,y_А,z_А изменяются.

Рис.9

Длина отрезков натуральной координатной ломаной ОА_xАА в общем случае не равна длине их проекций О^oА^o_xА’₁А^o на картинной плоскости  (рис. 8).