Глава 4
1. При низьких частотах і великих довжинах хвиль (шг <umax, '' інейная акустична залежність
w, ос к.
rR0 <')
(4.4.33)
■ ікая само, як для пружного середовища [пор. з формулою (4.4.6)].
2. При високих частотах і малих довжинах хвиль дисперсійне соотно¬шеніе вже не є лінійним. Частота иг досягає максимуму вблі- "О, що відповідає хвильовому числу кг ~ ІГ / Rq, тобто кордоні« зони Брил-чоена »решітки.
3. Число незалежних мод одно N х (розмірність решітки).
Ми бачимо, що спектр поперечних фононів, представлений на рис. 4.1 "ія об'емноцентрірованной кубічної решітки, який наближено мражается рівністю (4.3.13), якісно подібний спектру одновимірної" • шеткі, що визначається формулою (4.3.31).
Виходячи з результату вправи 4.2, можна було б очікувати, що мектр поздовжніх збуджень в плазмі визначається співвідношенням и ~ Q. Це справедливо для високих частот і коротких довжин хвиль. Од-мчко в низькочастотному довгохвильовому межі квант поводиться як нормальна фонон з ш3 - к, що пов'язано з кулоновской екрануванням іо¬нов оточуючим їх виродженим електронним газом.
Щоб показати це, припустимо, що локальна щільність заряду Іонов являє собою мале обурення однорідного нейтрального й й етичного фону. Припустимо, що рухливий електронний газ швидко пе-ІЙ'мещается, щоб нейтралізувати це обурення. Запишемо п0 + я ,,
пе = Zn0 п'є
(4.4.34)
'О' "е>
и ІЕ пі і пе '- малі відхилення від статичних значень п0 і Zn0. Електро- | іюстатіческій потенціал, породжений цим обуренням, визначається Рівнянням
4тгеп'е. (4.4,35)
у наближенні Томаса-Фермі маємо (розд. 2.4) "РІ (г)
2т,
- Еф (г) = const
^ 3/2 / j + ЄФ {г)
3/2
(4.4.36)
(4.4.37)
злаго вираз (4.4.37) до першого порядку по еф / Е ¥ (фон майже одне-отримаємо
<-f ^ F- (4.4.38)
Остигання білих карликів
111
У підсумку рівняння (4.4.35) набуває вигляду (v2-ks2c) <!> =
де довжина екранування до ~ з 'визначена виразом
2 _ 6irZe2n0
(4.4.39)
(4.4.40)
Вправа 4.4. Мотивуйте використання терміну «довжина екранування» для к ~, обчисливши електростатичний потенціал одиночного іона, що спочиває в нача¬ле координат, який знаходиться в виродженої нейтральної плазмі.
Вказівка: ф задовольняє таким же рівнянням, як (4.4.39) з - 4xZe <5 (r) в пра¬вой частини.
Відповідь:
ф (г) = Zeexp (-Kscr) / r].
У довгохвильовому межі іони можна розглядати як «рідина». Необхідні нам динамічні рівняння, що описують по¬веденіе рідини1 ^, це, по-перше, рівняння нерозривності:
(4.4.41)
і, по-друге, рівняння руху:
д \,. Ze
_ + (V.v) v = _ w.
(4.4.42)
Лінеаризація цих рівнянь поблизу статичного однорідного фону, в ко¬тором v = ф = 0, дає
д
- + Nov -v = О,
dt
Ze
-------
т,
-иі, + лок • v = 0,
{К2
"Див. Гл. 6.
(4.4.43)
(4.4.44)
Розглянемо один Фур'є-компонент, пропорційний ехр (/ к • г - / з /). Для нього
(4.4.45)
(4.4.46) (4.4.47)
112
Глава 4
де останнє рівняння випливає з рівняння (4.4.39). Помножимо скалярно рівняння (4.4.46) на до і виключимо до ■ V з рівняння (4.4.45). Далі з ¬ міццю рівняння (4.4.47) виключимо ф. В результаті отримаємо
і +
(Поздовжня)
де
ДП:
(4.4.48)
(4.4.49)
Зауважимо, що це відноситься тільки до поздовжньої моді, так як, соглас¬но (4.4.46), вектори v і до паралельні. З виразу (4.4.48) видно, що ш ~ до при малих до і <х> - пр при великих к.
Екранування не робить значного впливу на поперечні моди.
Вправа 4.5. Покажіть, що в низькочастотному межі формула (4.4.48) сводіт¬ся до акустичного дисперсионному співвідношенню: ш - csk, де з} = dP / dp, a Р і р визначаються виразами, що відповідають нагоди ідеального фермі-газу.
Тепер ми готові обчислити cv за допомогою формули (4.4.5), використовуючи спектр збуджень об'емноцентрірованной кубічної решітки, пред¬ставленний на рис. 4.1. У загальному випадку обчислення доводиться робити чисельно. Однак можна легко знайти вид cv у двох граничних випадках. У режимі високотемпературної решітки маємо
'к,
(4.4.50)
незалежно від деталей дисперсионного співвідношення і в згоді з преди¬дущім розглядом.
У низькотемпературному режимі, Т <0D, головний внесок в інтеграл (4.4.5) дає низькочастотна, довгохвильова область. Наближено запи-
= А-, -п "
(4.4.51)
де ах - постійна (пор. з рис. 4.1), отримаємо
(4.4.52)
де
Уі = уі =
У пана =
(4.4.53)
Охолодження білих карликів
113
Іонна решітка
ІЗеальнип
Рис. 4.2. Питома теплоємність як функція температури (рисунок схематичний; врахований лише внесок іонів). При низьких температурах під <Т <Т, коли газ крісталлі¬зуется, коливання решітки збільшують cv у порівнянні зі значенням'к / 2 для іде¬ального газу Максвелла - Больцмана. При дуже низьких температурах, Т <6D, cv 'поводиться як Т3.
У межі Т - ~ 0, у - про ° за допомогою виразу (4.4.13) отримаємо
.4 / Т \ 3 I 2
На рис. 4.1 видно, що при малих до маємо cq = 0,8; а'> 1. Следователь¬но, поздовжні моди не вносять ніякого внеску і
(4.4.54)
Іонна теплоємність при всіх Т показана на рис. 4.2.
4.5. УТОЧНЕНИЙ АНАЛІЗ остигання білих карликів
У загальному випадку рівняння (4.2.5), яке описує охолодження білих карлі-
ков, приймає вигляд
або
dt
(4.5.1)
(4.5.2)
Якщо 9D <Т <«Tg, то cv ='к і з рівняння (4.5.2) для часу остива¬нія слід
6 КТМ
т = - ■
5 Am ,, L '
Tg.
(4.5.3)
8-353
114