Глава 4

1. Припустимо, що нормальні моди коливань у твердому тілі можна наближено представити як поширення звукових хвиль в не¬преривной пружною середовищі. Звідси отримаємо дисперсійне співвідношення у вигляді

ux (k) = kcjX, (4.4.6)

де швидкості поперечних cs_, = cs 2 і поздовжніх cs з звукових хвиль можна виразити через параметри пружності середовища.

2. Визначимо «середню ефективну» швидкість звуку з:

Cj, 3

(4.4.7)

3. дебаєвсьного гранична частота, що відповідає вираженню (4.4.6) до¬лжна дорівнювати

"D, x = kdcs.x, (4.4.8)

і, отже, залежить від поляризації X. Замість цього пренебрежем за¬вісімостью від поляризації і визначимо загальну дебаєвсьного частоту для всіх X у вигляді

(4.4.9)

Wr, =

де було використано вираз (4.3.12). Тоді рівність (4.4.5) приймає вигляд

де «функція Дебая» / о0) визначається виразом

3 гу x4exdx

у 'JO (е * - I) 2'

а «звичайна» дебаєвсьного температура в0 визначена умовою

(4.4.10) (4.4.11)

(4.4.12)

яке відрізняється від умови (4.3.17). Оскільки

()> H y- * 0,

(4.4.13)

Охолодження білих карликів

107

Рис. 4.1. Спектр збуджень об'ємно центрованої кубічної решітки з Куло-Стройтрест ^ ким взаємодією при обліку екранування згідно обчисленням Кларка (J129] та огляду Пайнс [457]. Штрихова лінія відповідає ідеалізованому нагоди відсутності екранування. (По роботі [401].)

то для «звичайної» дебаєвської теплоємності отримаємо

'к,

(4.4.14)

На жаль, «звичайне» дебаєвсьного розгляд недостатньо для Ьа-ших цілей. Засноване на грубій аналогії між твердими тілами і пружними середовищами, воно неправильно описує кулонівську природу іон-ної решітки. Найбільш істотно, що дебаєвсьного гранична частота для іонної решітки дорівнює пр, а не o) D, так як найвища частота в спектрі нормальних мод пов'язана з коливаннями одного іона навколо свого положе-ня рівноваги.

Правильне обчислення інтеграла (4.4.5), що визначає cv, вимагає детального аналізу спектру нормальних мод (фононів) шх (к) іонної ре¬шеткі поблизу Т = 0. Такий аналіз був проведений для об'емноцентрірован¬ной кубічної решітки Кларком [129], Карром [107] та іншими. Моди ко¬лебаній такий решітки складаються з двох поперечних фононів і продольно¬го «плазмона». Їх типовий спектр представлений на рис. 4.1.

Деякі особливості коливального спектра можна зрозуміти на осно¬ве аналізу нормальних мод одновимірної іонної решітки, розглянутої в

108

Глава 4

розд. 3.7. Нагадаємо, що ми розглядаємо іони у вигляді ланцюжка з N ча¬стіц з масами / я (-, які в положенні рівноваги знаходяться на расстоя¬ніі - /? 0 (= 2гу) один від одного. Кулонівські сили діють як «пружинки», зв'язують іони один з одним, з коефіцієнтом пружності

К = juw2, = {т, і> 1 = knifi], (4.4.15)

де / j. = / І, / 2 - приведена маса. Повна довжина решітки дорівнює (N + + 1) Д0; передбачається, що крайні іони закріплені. Ми припустимо, що тільки найближчі сусіди взаємодіють один з одним, ігноруючи таким чином екранівку, пов'язану з дальнодействием характером кулонівського поля1 '.

Якщо зсув у-го іона від положення рівноваги одно qj, to для ма¬лих зсувів сумарна сила, яка повертає цей іон до положення рав¬новесія, дорівнює

Fj = -K {4j - K (qJ + x -

Рівняння руху має вигляд т,% = K (qJ_x-2qJ qJ + x), Шукаючи нормальні моди, покладемо (4.4.16) І4.4.17) (4.4.18)

де постійні aj задовольняють рівняння

-Kaj_x + (2К- т, и2) ^ ■ - Kaj + X = 0, j = \, ..., N, (4.4.19) причому граничні умови виконуються, якщо накласти вимоги:

а0 = 0, (4.4.20)

а

N + \

= 0.

(4.4.21)

Рівняння (4.4.19) є лінійним різницевим рівнянням другого по¬рядка з постійними, тобто не залежними ОТУ, коефіцієнтами. Його мож¬но вирішити за допомогою підстановки

Oj = axe '^ - s \ (4.4.22)

де мається на увазі, що фізичний зміст має дійсна частина а ,. Далі знайдемо

w, l 2

(4.4.23)

Ця екранування буде врахована нижче в даному розділі.

Охолодження білих карликів Гранична умова (4.4.20) вимагає, щоб

109

(4.4.24)

так що дійсна частина а0 зникає, а умова (4.4.21) призводить до со¬отношенію

siny (N + 1) = 0,

(4.4.25)

пт

v.-дГТТ 'г-1 -..., ^

(4.4.26)

Тут г нумерує N незалежних рішень рівняння (4.4.19). Таким обра¬зом, є N незалежних власних частот:

(4.4.27)

Для відповідних нормальних мод зміщення 7-й частинки пропорціо¬нально величиною

(4.4.28)

Дисперсійне співвідношення (4.4.27) можна переписати через хвильове чіс¬ло кг, певне рівністю

(4.4.29) (4.4.30)

Тоді

ая ~

де Xj = j Rq, a дисперсійне співвідношення приймає вигляд

4 =

де

(4.4.31)

(4.4.32)

Вищенаведене дисперсійне співвідношення, отримане для про¬дольних мод одновимірної решітки, володіє такими загальними для лю¬бих систем з великим N властивостями:

I

10