Глава 4

а) Покажіть, що повна кулоновская енергія осередку решітки Вигнера-Зейтца [рівність (2.4.8)] може бути записана у вигляді

а енергія нульових коливань - у вигляді Бо = - h ton = З

5 re

1/2 ^ re-V2Ry.

Порівняйте ці величини з аналогічними величинами для об'емноцентрірованной кубічної (ОЦК) решітки.

Відповідь: Для ОЦК решітки коефіцієнт у виразі Ес замість 9/5 стає рівним 1,804, а коефіцієнт 3 у вираженні Ео перетворюється на 2,66.

б) Покажіть, що ставлення / = \ ЄВ / ЄС \ в решітці Вигнера-Зейтца удовлетво¬ряет умові

3

1,92а

Z-7/6 _

^ - | Z

-7/6

де х - безрозмірний параметр, введений в рівності (2.3.3), який ог.ределя-і, наскільки релятивістськими є електрони. Очевидно, щоб іони остава¬лісь в решітці при нульовій температурі, необхідно умова / <1 (чому?). Ка¬кой величини досягає / для стійких карликів, що складаються з 12 С з плотнос¬тью р <1 ■ 1010 г / см3? Відповідь: f ~ 0,05.

Згідно класичним уявленням, кожна ступінь свободи гармо¬ніческого осцилятора вносить в середню енергію внесок кТ / 2:

(4.3.6) (4.3.7)

Співвідношення (4.3.4) і (4.3.6) тепер дають

ЗКТ

Більш точну оцінку числового коефіцієнта в (4.3.7) можна отримати наступним чином [401]. Кожна нормальна мода коливань іона в ре¬шетке описується хвильовим числом до і станом поляризації X. Двом поперечним станам поляризації припишемо X = 1, 2, а поздовжньої моді - X = 3. В області застосовності класичної теорії

кТ

кТ

К (до, Х)

(4.3.8)

Охолодження білих карликів

103

де К {до, X) - коефіцієнт пружності для даної моди, а Ш \ М - відповідна частота. Щоб визначити <((5г;) 2>, потрібно про¬сумміровать рівність (4.3.8) за нормальними модам коливань іона. Згадуючи, що щільність у фазовому просторі для кожного полярізо¬ванного стану дорівнює 1 // г3, отримаємо, що число мод в елементі фазово¬го обсягу d3x <fip одно

d3xd3p, к2 dK

-h3 ---- ='п2 '^ 4-3-9)

так як /? = Йк. Оскільки обсяг, який припадає на одгагіон, дорівнює d3x = = 1 / л,., То

с, Л

1

kT rKoK2dK у

2т72 Л = | и2 (к)

(4.3.10)

Інтеграл обрізається на дебаєвської моді kd, величину якої можна най¬ті, приймаючи повне число нормальних мод TV іонів в об'ємі V рівним

ЗМ

3N

з

Л = 1

К1 dK

або

«О- (б» Ч) 1 / Е.

(4.3.11)

(4.3.12)

Щоб далі використовувати рівняння (4.3.10), нам знадобиться дісперсі¬онное співвідношення для шх (к). Спектр збудження решітки ми обговоримо більш детально в розд. 4.4, а тут зауважимо тільки, що з хорошою точнос¬тью можна прийняти

"З = 0,70 ,.

Підставляючи ці результати в рівність (4.3.10), отримаємо

14А: Г

(4.3.13)

(4.3.14)

104

Глава 4

що можна порівняти з початковим виразом (4.3.7).

Рівність (4.3.14) і правило Ліндеманна (4.3.3) в точці плавлення дають

Г = 75, (4.3.15)

що в припущенні ixe = 2 відповідає температурі плавлення

Г / с 3 2ZmL

= 2 X 10У / 3Z5 / 3 К. (4.3.16)

Ці значення знаходяться в розумному згоді з результатами, отриманими при розрахунках методом Молнте-Карло для однокомпонентної кулоновской «рідини» (Г = 126) [91], а також при обліку квантових ефектів для іо¬нов (Г = 160) [331]. Нещодавно в роботі \ [543] було знайдено значення Г = = 171 ± 3.

Ми визначили дебаєвсьного температуру 9D допомогою рівності

k6n = hQD, - (4.3.17)

звідси

6V = 4 X 103р1 / 2 К.

(4.3.18)

Для білих карликів з Z> 2, як правило, Тт> 0D, так що застосуємо класичний висновок (6г () 2>. В іншому випадку при обчисленні <(5г () 2> варто було б врахувати нульові коливання. Однак виявляється, що навіть для Нема з Тт <% у вираз (4.3.10) краще узгоджується з експериментом, ніж результати деяких спроб врахувати нульові коливання.

Коли рідина кристалізується при Т ~ Тт, виділяється прихована теп¬лота, кількість якої в перерахунку на один іон становить

-Ч ~ КТТ

(4.3.19)

Приховану теплоту, що виділяється в процесі кристалізації, слід включити в повний запас енергії зірки. Як обговорюється в розд. 4.5, це призводить до збільшення часу остигання.

Третя істотна температурна характеристика - це температура Tg, при якій кінетична енергія іонів починає перевищувати їх коле¬бательную енергію. При температурах вище Т кристалічна решітка руйнується, утворюючи щільний неідеальний газ.

Це відбувається, коли

-,) 2) ~ г.2 '(4.3.20)

або Т ~ 16 Т [пор. з виразом (4.3.3)]. Звідси

Tg ~ 3 X 104pI / 3Z5 / 3 К.

(4.3.21)

Охолодження білих карликів

105

Зауважимо, що для 12С справедливо нерівність 0D <Тт <Tg за умови, що про ■ £ 106 г / см.

4.4. Теплоємність Кулонівського РЕШЕТКИ

При Т> Т іони можна розглядати як ідеальний газ Макс¬велла-Больцмана і, отже, теплоємність, яка припадає на один іон, дорівнює

T »Tg.

(4.4.1)

Це значення було використано в розд. 4.2 при елементарному обговоренні остигання білих карликів.

Коли температура опускається нижче Tg, починається формування ре¬шеткі. При цьому теплоємність збільшується вдвічі через додаткового вкладу потенційної енергії решітки, рівного к772 на кожну моду ко¬лебаній. Таким чином,

cv ~ 3k,

(4.4.2)

При подальшому охолодженні до Т <0D стають істотними квантові ефекти і cv падає багато нижче значень (4.4.1) і (4.4.2). Ког¬да Г - 0, то cv ~ Г3. Оскільки цей режим може відігравати істотну роль при зіставленні даних спостережень з теоретичними оцінками швидкості охолодження білих карликів і безпосередньо свідчити про їх кристалізації, ми обговоримо його більш докладно.

Середня енергія іона в решітці при температурі Т равна1 '

1

1

де 3 = 1 / кТ. Теплоємність визначається виразом дё

(4.4.3)

о; х (к)] - I} 2 Суму по к можна замінити інтегралом, що дає

-до

^ -к Г

2тг2

«Звичайне» дебаєвсьного наближення, яке тут застосовується, со¬стоіт в следующем2 ':

1) СР, наприклад, з розд. 10.1 книги [479].

2) Див., Наприклад, [479], розд. 10.2.

106