Глава 4

Для L ~ 10 березня Lg маємо т - 109 років. Виходить такий порядок величини, якого слід було очікувати: з одного боку, т досить велике, так що білі карлики не встигли стати неспостережуваними, а з дру¬гой - досить мало, так що типові світності білих карликів стали тепер вельми низькими. Як можна помітити, з рівняння (4.2.6) випливає, що більшу частину часу білий карлик має температуру, близьку до сучасної.

В кінці 60-х і початку 70-х років розглянута вище теорія остива¬нія наближено узгоджувалася із спостереженнями для гарячих і яскравих бе¬лих карликів (10 ~ 3 <L / Lq. ^ 10 ~ '). Однак для слабких білих карликів (L ^ 10 "3 Lq) теоретичні оцінки часу остигання здавалися зави¬шеннимі більш ніж на порядок. Це протиріччя проявлялося пля слабких білих карликів в зоряних скупченнях, де вік білого карлика, вичіс¬ленний на основі формули (4.2 .7), опинявся вище віку скопленія1 '. Крім того, оскільки г збільшується в міру зменшення L, тл повинно спостерігатися велика кількість білих карликів з малими світностями. Однак, наприклад, функція світності Вейдеманн вказує на недоста¬ток білих карликів cL <1O ~ 3Z, 0.

Як ми тепер знаємо, це протиріччя було по суті позірним і з'явилося через недооцінку неточностей у спостереженнях скупчень і у визначенні їх віку. Інтенсивні пошуки привели до виявлення великої кількості не входять в скупчення білих карликів зі светі¬мостью аж до L <10 Lq. Однак згадане позірна протіво¬речіе стимулювало спроби теоретиків «скоротити» час охолодження.

У наступних розділах описані найбільш важливі поправки до елементар¬ной теорії охолодження. Це зроблено за наступними двох причин. По-перше, у міру поліпшення даних спостережень потрібно і більш точна теорія, з якою ці дані можна було б порівняти. По-друге, нові спостереження свідчать про несподіване, відсутності білих карликів з дуже малою світністю L <10 ~ * Lq [301]. Якщо цей дефіцит действі¬тельно має місце, то який фізичний "ефект може бути ответствен¬ним за скорочення часу остигання?

Найбільш важливий ефект, яким ми знехтували, - це крісталлі¬зація іонної решітки [401, 496, 585]. Для досить низьких температур (і, отже, светимостей) питома теплоємність більшою мірою пов'язана з коливаннями іонів решітки, ніж з вільним рухом. Де-Баєвська температура (6D ~ 107 К) є критичною температурою, ні¬же якої сі швидко падає, що веде до оолее швидкому охолодженню. Облік цієї обставини повинен забезпечувати поліпшення згоди тео¬ріі зі спостереженнями. У наступних розділах ми в основних рисах постро¬ім теорію кристалізації і теплоємності іонної решітки і застосуємо результати до білих карликів.

'' Вік скупчення по суті збігається з часом життя на головній после¬довательності найбільш яскравих зірок скупчення в припущенні, що всі зірки об¬разовалісь в один і той же час; див. додаток А.

Охолодження білих карликів

101

4.3. КРИСТАЛІЗАЦІЯ І ТЕМПЕРАТУРА ПЛАВЛЕННЯ

Іонна решітка кристалізується, коли безрозмірний параметр

(Ze) 2

_

кулоновская енергія

rtkT теплова енергія

стає досить великим. Тут г, визначається рівнянням

_

1,

(4.3.1)

(4.3.2)

де п. - концентрація іонів. При Г <1 відхилення плазми за рахунок елек¬тростатіческіх поправок від ідеальної картини Максвелла-Больцмана не¬значітельно. При Г> 1 кулонівських сили переважають і плазма кристал-лизуется, утворюючи періодичну решітку, яка мінімізує кулонів-ську енергію.

Можна оцінити критичне значення Г і відповідну температу¬ру плавлення Тт, користуючись емпіричним правилом Ліндеманна [369]: іонна решітка плавиться, коли середній квадрат теплових флуктуації по¬ложенія іона {{ЬгЛ) г) задовольняє умові

16 '

(4.3.3)

Вправа 4.2. Розглянемо мале зміщення іона від положення рівноваги в ре¬шетке Вигнера-Зейтца. Вважаючи, що оточує іон електронне хмара однород¬но розподілено в просторі, покажіть, що повертає сила, яка возні¬кает від взаємодії з цим хмарою, являє собою силу тривимірного гар¬моніческого осцилятора. Обчисліть величину коефіцієнта пружності К і поки-жіаге, що частота коливань дорівнює

1/2

п

де ін - плазмова частота іонів:

р

1/2 '

1/2

(4.3.4)

(4.3.5)

Зауважимо, що для одновимірної моделі решітки, використаної в розділі (3.7), так ¬ справедливе співвідношення (4.3.4) (пор. З упр. 3.9).

Вправа 4.5. (Засноване на роботі Солпитера [496]). Нехай геад -всередині якої в середньому знаходиться один електрон; = H / amec - борівський радіус, а = 1/137. Таким чином, г, = Z

радіус сфери,

102