Сложение колебаний Из теорий гармонического анализа известно, что любую периоди­ческую функцию f(X), имеющую период 2π, можно представить в виде тригонометрического ряда:

где a₀, a_n, b_n - коэффициенты этого ряда, определяемые по формулам:

Следовательно, любое сложное колебание можно предста­вить как сумму нескольких простых. Чтобы знать, как зависят парамет­ры сложного колебания от соотношения частот, амплитуд, фаз и направлений слагаемых колебаний, рассмотрим наиболее простые случаи сложения гармонических колебаний.

1. Сложение двух колебаний одного направления.

а) сложение 2-х колебаний одинаковой частоты.

ω₁ = ω₂ = ω, Т₁ = Т₂ = Т Уравнения колебаний отличаются только начальной фазой и амплитудой и имеют вид:

Представим оба колебания в виде векторов амплитуды Х₀₁ и Х₀₂, Сложение векторов выполним графически.

О

тложим от точки 0 под углом φ₁ – вектор Х₀₁, под углом φ₂ – вектор Х₀₂. Обе амплитуды вращаются с одинаковой угловой скоростью и против часовой стрелки. Следовательно, угол между амплитудами остается постоянным, равным (φ₂ – φ₁). Вектор Х₀ представляет собой гармоническое колебание, происходящее с той же частотой и амплитудой │Х₀│= │Х₀₁+ Х₀₂│ и начальной фазой φ. Из чертежа

Само результирующее колебание имеет вид:

Важно заметить, что амплитуда результирующего колебания зависит от разности фаз (φ₂ – φ₁) слагаемых колебаний.

Она заключена в пределах:

1. Если разность начальных фаз слагаемых колебаний, равна четному числу π, φ₂ – φ₁ = кπ , то Х₀ = Х₀₁ + Х₀₂, tg φ = tg φ₁, φ = φ₁, к = 0,1,2, …

Колебания однофазные и усиливают друг друга.

t

2) Если φ₂ – φ₁ = (2к+1)π , то Х₀ = Х₀₁ - Х₀₂ , к = 0,1,2,… следовательно колебания ослабляют друг друга

3) Если Х₀₁ = Х₀₂ , ω₁ = ω₂ = ω , φ₂ = φ₁

Уравнение результирующего колебания имеет вид:

– начальная фаза результирующего колебания.

Результирующее колебание гармоническое, отличающееся по фазе от слагаемых колебаний на половину суммы их начальных фаз.

При φ₁ – φ₂ = 2кπ , (к = 0,1,2,…) Х₀ = 2Х₀₁ – колебания усиливаются.

При φ₁ – φ₂ = (2к + 1)π , (к = 0,1,2,…) Х₀ = 0 – колебания гасятся.

2. Сложение взаимно перпендикулярных колебаний.

1. Рассмотрим движение точки М₁, участвующей одновременно в 2-х взаимно перпендикулярных колебаниях, частоты которых ω₁ и ω₂ равны (ω₁ = ω₂ = ω), амплитуды соответственно а и в.

Колебательный процесс в этом случае описывается системой уравнений:

где φ – угол сдвига фаз.

Для определения уравнения траектории движения точки из системы уравнений исключим время. Из первого уравнения

Второе уравнение перепишем в виде:

Подставив вместо sin ωt и cos ωt их значения будем иметь уравнение движения

Исследуем некоторые частные случаи.

а) при равенстве частот имеет место еще и равенство фаз, т.е. φ = 0.

Уравнение траектории имеет вид

Уравнение прямой, проходящей через начало координат под углом ά:

С мещение от начала координат определяется уравнением

Т.к. уравнение слагаемых колебаний имеет вид

Таким образом результирующее движение является гармоническим колебанием.

б) составляющая колебания отличается по фазе на π/2 . Уравнение траектории имеет вид:

отсюда

- эллипс с плоскостями a и b.

При равенстве амплитуд траектории представляют собой окружность.

2) При сложении взаимно перпендикулярных колебаний, частоты которых кратны между собой, например ω₁ : ω₂ = 1/2 , 2/3 и т.д. = m/n ,

где m и n – целые числа, колеблющееся тело описывает сложные кривые (наз. Фигурами Лисажу), форма которых определяется отношением частот складываемых колебаний, их амплитудой и разностью фаз между ними

ω₁ : ω₂ = 2 : 1 ω₁ : ω₂ = 3 : 2

Δφ = 0 Δφ = π / 2 Δφ = 0 Δφ = π / 4

Вопрос №17 Волны. Длина волны и фазы. Продольные и поперечные волны.

Стоящие и бегущие волны.

Электромагнитные волны и их свойства. Принципы радиосвязи и примеры их практического использования.

Английский учёный Джеймс Максвелл на основании изучения экспериментальных работ Фарадея по электричеству высказал гипотезу о существовании в природе особых волн, способных распространяться в вакууме. Эти волны Максвелл назвал электромагнитными волнами. По представлениям Максвелла: при любом изменении электрического поля возникает вихревое магнитное поле и, наоборот, при любом изменении магнитного поля возникает вихревое электрическое поле. Однажды начавшийся процесс взаимного порождения магнитного и электрического полей должен непрерывно продолжаться и захватывать все новые и новые области в окружающем пространстве (рис.). Процесс взаимопорождения электрических и магнитных полей происходит во взаимно перпендикулярных плоскостях. Переменное электрическое поле порождает вихревое магнитное поле, переменное магнитное поле порождает вихревое электрическое поле.

Электрические и магнитные поля могут существовать не только в веществе, но и в вакууме. Поэтому должно быть возможным распространение электромагнитных волн в вакууме.

Условием возникновения электромагнитных волн является ускоренное движение электрических зарядов. Так, изменение магнитного поля происходит при изменении тока в проводнике, а изменение магнитного поля происходит при изменении скорости зарядов, т.е. при движении их с ускорением. Скорость распространения электромагнитных волн в вакууме, по расчётам Максвелла, должна быть приблизительно равна 300000 км/с.

Впервые опытным путём получил электромагнитные волны физик Генрих Герц, использовав при этом высокочастотный искровой разрядник (вибратор Герца). Герц опытным путём определил также скорость электромагнитных волн. Она совпала с теоретическим определением скорости волн Максвеллом. Простейшие электромагнитные волны – это волны, в которых электрическое и магнитное поля совершают синхронные гармонические колебания.

Конечно, электромагнитные волны обладают всеми основными свойствами волн.

Они подчиняются закону отражения волн: угол падения равен углу отражения. При переходе из одной среды в другую преломляются и подчиняются закону преломления волн: отношение синуса угла падения к синусу угла преломления есть величина постоянная для двух данных сред и равная отношению скорости электромагнитных волн в первой среде к скорости электромагнитных волн во второй среде и называется показателем преломления второй среды относительно первой.

Явление дифракции электромагнитных волн, т.е. отклонение направления их распространения от прямолинейного, наблюдается у края преграды или при прохождении через отверстие. Электромагнитные волны способны к интерференции. Интерференция – это способность когерентных волн к наложению, в результате чего волны в одних местах друг от друга усиливают, а в –других местах – гасят. (Когерентные волны – это волны, одинаковые по частоте и фазе колебания.) Электромагнитные волны обладают дисперсией, т.е. когда показатель преломления среды для электромагнитных волн зависит от их частоты. Опыты с пропусканием электромагнитных волн через систему из двух решеток показывают, что эти волны являются поперечными.

При распространении электромагнитной волны вектора напряжённости Е и магнитной индукции В перпендикулярны направлению распространения волны и взаимно перпендикулярны между собой (рис.2).

Возможность практического применения электромагнитных волн для установления связи без проводов продемонстрировал 7 мая 1895 года русский физик А. Попов. Этот день считается днём рождения радио. Для осуществления радиосвязи необходимо обеспечить возможность излучения электромагнитных волн. Если электромагнитные волны возникают в контуре из катушки и конденсатора, то переменное магнитное поле оказывается связанным с катушкой, а переменное электрическое поле – сосредоточенным между пластинами конденсатора. Такой контур называется закрытым (рис.3 а). Закрытый колебательный контур практически не излучает электромагнитные волны в окружающее пространство. Если контур состоит из катушки и двух пластин плоского конденсатора, то под чем большим углом развёрнуты эти пластины, тем более свободно выходит электромагнитное пространство (рис. 3 б). Предельным случаем раскрытого колебательного контура является удаление пластин на противоположные концы катушки. Такая система называется открытым колебательным контуром (рис.3 в). В действительности контур состоит из катушки и длинного провода – антенны.

Энергия излучаемых (при помощи генератора незатухающих колебаний) электромагнитных колебаний при одинаковой амплитуде колебаний силы тока в антенне пропорциональна четвёртой степени частоты колебаний. На частотах в десятки, сотни и даже тысячи герц интенсивность электромагнитных колебаний ничтожна мала. Поэтому для осуществления радио и телевизионной связи используются электромагнитные волны с частотой от нескольких сотен тысяч герц до сотен мегагерц.

При передаче по радио речи, музыки и других звуковых сигналов применяют различные виды модуляции высокочастотных (несущих) колебаний. Суть модуляции заключается в том, что высокочастотные колебания, вырабатываемые генератором, изменяют по закону низкой частоты. В этом и заключается один из принципов радиопередачи. Другим принципом является обратный процесс – детектирование. При радиоприёме из принятого антенной приёмника модулированного сигнала нужно отфильтровать звуковые высокочастотные колебания.

С помощью радиоволн осуществляется передача на расстояние не только звуковых сигналов, но и изображения предметов. Большую роль в современном морском флоте, авиации и космонавтике играет радиолокация. В основе радиолокации лежит свойство отражения волн от проводящих тел. (От поверхности диэлектрика электромагнитные волны отражаются слабо, а от поверхности металлов почти полностью.)

Волна – это колебание, распространяющееся в пространстве с течением времени

Поперечные волны – волны, в которых направление распространения колебаний перпендикулярно направлению распространения волны

Продольные волны – волны, в которых направление колебаний происходит вдоль направления распространения волны

Интерференция – сложение в пространстве двух (или нескольких) волн, при котором образуется постоянное во времени распределение амплитуды результирующих колебаний в различных точках пространства.

Дифракция – отклонение от прямолинейного распространения волн, огибание волнами препятствий

Длина волны – расстояние между двумя точками, движущимися в одной фазе.

Радиолокация – обнаружение и точное определение положения объекта с помощью радиоволн

Отражение

1. Угол падения равен углу отражения

2. Падающий луч, луч отраженный и перпендикуляр, восстановленный в точке падения – лежат в одной плоскости

Преломление

1. отношение sin угла падения к sin угла отражения есть величина постоянная для двух сред

2. Падающий луч, луч преломленный и перпендикуляр, восстановленный в точке преломления – лежат в одной плоскости

Принцип Гюйгенса – каждая точка среды, до которой дошло возмущение, сама становится источником вторичных волн

ЭМВ – это распространяющееся в пространстве электромагнитное поле.

1) λ = υT = υ/ν - длина волны

2) Δd = kλ - максимум интерференции

3) Δd = (2k+1)λ/2 – минимум интерференции

4) d∙sinφ = kλ - дифракция

5) R = ct/2 - радиолокация

Вопрос №18 Равновесные процессы для идеального газа: изохорический,

изобарический и изотермический процесс.

Вопрос №19 Уравнение состояния идеального газа. Уравнения Клайперона-Менделеева.

Распределение Больцмана и Максвелла. Число Авагадро.

Идеальный газ. Основное уравнение молекулярно-кинетической теории идеального газа.

Для объяснения свойств вещества в газообразном состоянии используется модель идеального газа. В этой модели предполагается следующее: молекулы газа обладают пренебрежимо малыми размера по сравнению с объемом сосуда, между молекулами не действуют силы притяжения, при соударении друг с другом и стенками сосуда действуют силы отталкивания. Качественное объяснение явления давления газа заключается в том, что молекулы идеального газа при столкновениях со стенками сосуда взаимодействуют с ними как упругие тела. При столкновении молекулы со стенкой сосуда проекция вектора скорости на ось, перпендикулярную стенке, меняется на противоположную. Поэтому при столкновении проекция скорости меняется от –mv_x до mv_x, и изменение импульса равно . Во время столкновения молекула действует на стенку с силой, равной по третьему закону Ньютона силе, противоположной по направлению. Молекул очень много, и среднее значение геометрической суммы сил, действующих со стороны отдельных молекул, и образует силу давления газа на стенки сосуда. Давление газа равно отношению модуля силы давления к площади стенки сосуда: p=F/S. Предположим, что газ находится в кубическом сосуде. Импульс одной молекулы составляет 2mv, одна молекула воздействует на стенку в среднем с силой 2mv/t. Время t движения от одной стенки сосуда к другой равно 2l/v, следовательно, . Сила давления на стенку сосуда всех молекул пропорциональна их числу, т.е. . Из-за полной хаотичности движения молекул движение их по каждому из направлений равновероятно и равно 1/3 от общего числа молекул. Таким образом, . Так как давление производится на грань куба площадью l², то давление будет равно . Это уравнение называется основным уравнением молекулярно-кинетической теории. Обозначив за среднюю кинетическую энергию молекул, получим .