1.4. Переходные процессы и передаточные функции

Процесс перехода системы из одного равновесного состояния в другое называется переходным. Переходный процесс строится по переходной функции или временной характеристике.

Переходные процессы. Изменение во времени выходной величины системы от момента нанесения возмущающего или задающего воздействий до прихода ее в равновесное состояние называют переходным процессом. Он зависит от динамических свойств системы, определяемых уравнением дина­мики, от входных воздействий и начальных условий. Переходный процесс y(t) имеет составляющую свободного движения y_с(t) определяемую свой­ствами системы и начальными условиями, и составляющую вынужденного движения у_в(t) определяемую свойствами системы и видом воздействия. Та­ким образом

В разных системах при одних и тех же возмущениях, в частности, при нанесении на систему кратковременного возмущения z_в, переходные процес­сы протекают различно.

При апериодическом сходящемся процессе (рис. 1-4, а) выходная ве­личина у _t (см. табл. 1.1) плавно без колебания отклоняется от первоначально­го значения, и затем система постепенно возвращается в равновесное состоя­ние. При колебательном сходящемся процессе (рис. 1-4, б) выходная величи­на системы совершает колебания с постепенно уменьшающейся амплитудой. При колебательном гармоническом процессе

Рис. 1-4. Виды переходных процессов: а — апериодический сходящийся; б — колебательный сходящийся; в — коле­бательный гармонический; г — колебательный расходя­щийся; д— апериодический расходящийся.

(рис. 1-4, в) режим характеризуется постоянной ам­плитудой колебаний. При колебательном расходя-щемся процессе (рис. 1-4, г) амплитуда колебаний выходной величины системы постепенно возрастает со временем. Апериодический расходящийся процесс (рис. 1-4,5) характеризуется непрерывно возрастающим отклонением выход­ной величины системы от равновесного значения.

Устойчивость. Под устойчивостью понимают свойство системы са­мостоятельно возвращаться к равновесному состоянию после устранения возмущения, нарушившего ее равновесие. Это означает, что свободная со­ставляющая переходного процесса с течением времени должна стремиться к нулю, т. е.

Устойчивость является важным показателем работы системы. Не удо­влетворяющие условию (I,11) системы неустойчивы. Работоспособными яв­ляются только устойчивые системы; для определения устойчивости исследу­ется уравнение (1,7).

При апериодическом или колебательном сходящемся переходном процессе в системе (см. рис. 1-4, а, б) она устойчива, при апериодическом или колебательном расходящемся (рис. 1-4, г, д) — неустойчива. Гармониче­ский колебательный процесс условно рассматривают как устойчивый при не­большой амплитуде колебаний, допустимой по условиям технологического процесса. При амплитуде же колебаний, превышающей допустимые откло­нения, систему считают неустойчивой.

Показатели качества переходного процесса.

Показатели качества переходного процесса. Качество пере­ходных процессов определяют по временной характеристике АСР, полученной при ступенчатом возмущении или ступенча­том изменении задания (рис. 8.1). Различают следующие пока­затели качества переходного процесса:

динамическая ошибка регулирования у_дин представляет со­бой максимальное отклонение регулируемой величины в пере­ходном режиме от ее заданного значения. На рис. 8.1 эта ошиб­ка равна первой амплитуде г/, колебаний переходного процесса (г/д.,н = */,);

время регулирования t_p — это время, в течение которого, начиная от момента приложения воздействия на АСР, регулируемая величина достигает нового равновесного значения с некоторой заранее установ­ленной точностью ± . и в по­следующем не выходит за пре­делы зоны ± . Время регули­рования определяет быстро­действие АСР;

перерегулирование переходного процесса представляет собой выраженное в процентах отношение второй у₂ и первой y₁ амплитуд колебаний, направленных в противоположные сто­роны

интегральная квадратичная ошибка регулирования представ­ляет собой квадрат площади между кривой переходного про­цесса и новым установившимся состоянием системы

Чем меньше динамическая ошибка, время регулирования и т. д., тем выше качество переходного процесса.

Рис. 8.1. Показатели качества пере­ходного процесса в АСР при ступен­чатом возмущении (а) или ступенча­том изменении задания (б)

Типовые переходные процессы.

Типовые переходные процессы. К качеству регулирования каждого технологического процесса предъявляют конкретные требования; в одних случаях оптимальным может служить про­цесс, обеспечивающий минимальное значение y_дин, в других случаях — минимальное значение t_p. Поэтому в соответствии с требованиями технологии в качестве оптимального выбирают один из следующих типовых переходных процессов (рис. 8.2):

Рис. 8.2. Типовые переходные процессы:

а — граничный апериодический с минимальным временем регулирования; б —с 20%-ным перерегулированием; о — с минимальной квадратичной площадью отклонения (min y²dt)

граничный апериодический процесс характеризуется отсут­ствием перерегулирования, минимальным временем регулиро­вания и наибольшей динамической ошибкой регулирования по сравнению с другими типовыми процессами. Такой процесс ис­пользуется в качестве оптимального при сильном влиянии регулирующего воздействия в объекте на другие технологиче­ские величины объекта, что ограничивает степень воздействия регулятора на объект и вследствие этого приводит к большому отклонению регулируемой величины от заданного значения;

процесс с 20%-ным перерегулированием характеризуется меньшим отклонением регулируемой величины и большим вре­менем регулирования, чем в предыдущем случае. Этот процесс выбирают в качестве оптимального, когда допустима большая степень воздействия регулятора на объект и возможно некото­рое перерегулирование;

процесс с минимальной квадратичной площадью отклонения регулируемой величины обладает значительным (до 40%) пе­ререгулированием, наибольшим временем регулирования и наи­меньшей величиной динамической ошибки регулирования по сравнению с другими типовыми процессами. Он возникает при большой величине регулирующего воздействия и применяется в качестве оптимального, если на величину динамической ошиб­ки регулирования накладываются жесткие ограничения.

Переходный процесс в АСР зависит от динамических харак­теристик объекта регулирования, характера и величины возму­щающего воздействия, от закона регулирования и числовых" значений параметров настройки регулятора. Для достижения требуемого качества регулирования при известных динамиче­ских характеристиках объекта и выбранном типовом переходном процессе подбирают необходимый закон регулирования и определяют параметры настройки регулятора.

Импульсной переходной функцией w(x) называется реакция системы на единичное импульсное воздействие:

Импульсную переходную функцию часто называют весовой функцией. Используя таблицу соответствия (см. табл. 8.1, вторая строка), вы-полним операцию обратного преобразования уравнения (8.37) и найдем выражение импульсной переходной функции:

Воспользуемся теоремой Виетта, таблицей соответствия (табл. 8.1, строка шестая) и запишем:

где p₁ и p₂ – простые корни характеристического уравнения

Подставив числовые значения коэффициентов дифференциального уравнения системы (8.36) в решение (8.40) и задаваясь дискретными значениями времени т, можно построить график импульсной переход­ной функции w(x) (рис. 8.11).

Переходной функцией h(т) называется реакция системы на единичное ступенчатое воздействие x(х) = 1(т) (рис. 8.12).

Используя таблицу соответствия (табл. 8.1, первая строка), выпол-ним операцию обратного преобразования уравнения (8.37) и найдем выражение переходной функции

Воспользуемся теоремой Виетта, таблицей соответствия (табл. 8.1, строка седьмая) и запишем:

где p ₁ = -a₁ и p₂ = -а₂ - простые корни характеристического уравнения.

Так как произведение выражение примет окончательный вид Подставив числовые значения ко­эффициентов дифференциального урав­нения системы (8.36) в решение (8.43) и задаваясь дискретными значениями времени , можно построить график переходной функции h(τ) (рис. 8.13).

Реакции систем на единичное импульсное и единичное ступенча­тое воздействие обычно называют временными характеристиками.

Передаточные функции

Передаточные функции, уравнение динамики, характеризует изминение сигнала при прохождение через систему.

Передаточной функцией системы называется отношение изо­бражения выходной величины к изображению входной величины:

Для получения выражения передаточной функции к дифференци­альному уравнению применяют операцию прямого преобразования Ла­пласа. Пусть динамические свойства системы описываются обыкновен­ным дифференциальным уравнением второго порядка

Воспользуемся основными свойствами преобразования Лапласа и применим операцию прямого преобразования к уравнению (8.36) при нулевых начальных условиях:

Символ p – алгебраическая величина. В левой части уравнения выносим общий множитель Y(p), и ре­шаем уравнение относительно изображения выходного параметра:

В соответствии с приведенным выше определением записываем выра­жение для передаточной функции системы:

Частное решение дифференциального уравнения (8.36) возможно при задании входного воздействия x(τ) . Обычно системы исследуют при подаче на вход типового апериодического воздействия, в резуль­тате которого система переходит из одного равновесного состояния в другое.

Передаточные функ­ции систем могут быть найдены по уравнениям динамики и по передаточным функциям звеньев системы.

По уравнению динамики передаточные функции находятся следую­щим образом. Применяется прямое преобразование Лапласа получаем дифференциал в операторной форме.

(1.36)

Или обычная полиномы в левой и правой частях уравнение через D(p) и K(p), получим

D(p)y=K(p)x+U(p), где (1.37)

U(p) – полином, определяемый начальным условиями системы. Пологая в уравнениях (1.36) и (1.37) начальные условия нулевыми ( при U(p)=0), из равенства W(p)=Y(p)/X(p) (1.34) и (1.37)

Получим выражение для передаточной функции системы

(1.38)

Таким образом, передаточная функция систем, движение которых описывается уравнениями типа (I,6), является дробно-рациональной функци­ей независимого переменного р. В реальных системах автоматики степень полинома знаменателя в выражении (1,38) всегда выше или равна степени полинома числителя, т. е. п≥т. Корни полинома числителя передаточной функции называют нулями, а корни полинома знаменателя — полюсами. При р = 0 передаточная функция системы вырождается в обычный коэффициент усиления системы.

Отметим, что передаточная функция системы может быть также опре­делена, как отношение полиномов правой и левой частей уравнения (I,9).