49. Условный экстреммум. (к1-67)

z²+y²=R² ; z=ax+by ; y=±sqrt(R²-x²), |x|<R ; z=ax±b×sqrt(R²-x²) ; Рисунок:

u=f(x), x=(x₁, x₂, ... , x_n);

Система-1: F₁(x₁, x₂, ... , x_n)=0 , F₂(x₁, x₂, ... , x_n)=0, ... , F_n(x₁, x₂, ... , x_n)=0

Точка x₀ ¾ точка условного max (min) функции u=f(x), если " т xÎU_d(x₀) удовлетворяющей “Системе-1”, выполняется соотношение:

f(x⁰)³f(x) {f(x⁰)£f(x) } , u=f(x) ¾ целевая функция, “Система-1” ¾ уравнения связи

L(x, l)=f(x)+lF ; L(x₁, x₂, ..., x_n, l₁, l₂, ..., l_m)=f(x₁, x₂, ..., x_n)+l₁F₁+...+l_nF_n =

=f(x₁, x₂, ..., x_n)+Sl_iF_i {i=1; n} ¾ это функция Лагранжа, а l₁...l_n ¾ множители лагранжа.

rang[D(F₁, F₂, ..., F_m)/D(x₁, x₂, ..., x_n)]=m

[D(F₁,F₂,..,F_m)/D(x₁,x₂,..,x_n)]×|[дF’₁/дx₁ дF’₁/дx₂ .. дF’₁/дx_m]|=0

[дF’_m/дx₁ дF’_m/дx₂ .. дF’_m/дx_m]|

Теорема-1: “Необходимые условия экстремума функции нескольких переменных”:

Пусть функция L(x₁, ..., x_n, l₁, ... , l_m) непрерывно дифференцируема в точке (x⁰, l⁰) и в некоторой её окрестности, где координаты x⁰ удовлетворяют “Системе-1”. Ранг матрицы = m и функция достигает в этой точке экстремума => справедливы следующие соотношения:

[дL(x⁰, l⁰)/дx₁]=дf(x⁰)/дx₁+Sl_i⁰×[дf_i(x₀)/дx₁]=0 {i=1; m}

[дL(x⁰, l⁰)/дx₂]=дf(x⁰)/дx₂+Sl_i⁰×[дf_i(x₀)/дx₂]=0 {i=1; m}

............................................................................................

[дL(x⁰, l⁰)/дx_n]=дf(x⁰)/дx_n+Sl_i⁰×[дf_i(x₀)/дx_n]=0 {i=1; m}

дL(x⁰, l⁰)/дl₁=F₁(x⁰)=0

.........................................

дL(x⁰, l⁰)/дl_m=F_m(x⁰)=0

т.е. dL(x⁰, l⁰)=0;

Для функции двух переменных: стационарные точки ¾ для которых выполняется следующая система: f’_y+lF’_y=0, f’_x+lF’_x=0, F(x, y)=0 ; L(x, y, z)=f(x, y)+lF(x, y)

Теорема-2: “Достаточные условия экстремума функции нескольких переменных”:

Пусть целевая функция f(x) и фукция связи F(x) дважды непрерывно дифференцируемы в окрестности x⁰ и пусть в каждой точке окрестности x⁰ выполняется: rang[D(F₁, F₂, ..., F_m)/D(x₁, x₂, ..., x_n)]=m

Тгда, если выполняется: а) Система: d²L(x⁰, l⁰)>0, dL(x⁰, l⁰)=0 или

б) система: d²L(x⁰, l⁰)<0, dL(x⁰, l⁰)=0, то в x⁰ ¾ а) min, б) max

Д-во: Применим формулу Тейлора:

f(x)-f(x⁰)=df(x⁰)+(1/2)d²f(x⁰)+o₁(r); r=sqrt[(x₁-x₀)²+...+(x_n-x_n⁰)²];

F(x)-F(x⁰)=dF(x)+(1/2)d²F(x)+o₂(r)

f(x)+lF(x)+[f(x⁰)+lF(x⁰)]=df(x⁰)-ldF(x⁰)+(1/2)[d²f(x⁰)+ldF(x⁰)]+o(r²)=

=dL(x⁰, l)+(1/2)d²L(x⁰, l) + o(r²); o(r²)=o₁(r²)+lo₂(r²); lim[o(r²)/r²]=0 (rà0);

L(x, l)-L(x⁰, l)=(1/2)d²L(x⁰, l)+o(r²); L(x, l⁰)-L(x⁰, l⁰)=f(x)-f(x⁰)=(1/2)d²L(x⁰, l⁰)+o(r²)

Для функции двух переменных получаем квадратичную форму:

Q=(-F’_z 0 F’_x)(L”_xx L”_xy L”_xz)(-F”_z 0)

(0 -F’_z F’_y)(L”_yx L”_yy L”_yz)(0 -F’_z)

(L”_zx L”_zy L”_zz)(F’_x F’_y)

Если Q>0 => min, если Q<0 => max

50. Наибольшие и наименьшие значения функции нескольких переменных в замкнутой области. (К1-74)

u=f(x); x=(x₁, x₂, ... , x_n) ¾ непрерывно дифференцируема по всем переменным в области D, DÎRⁿ ; По теореме Вейерштрасса:

x¹, x² Î D, inf(x)=f(x¹) {xÎD} , sup(x)=f(x²) {xÎD}

Нахождение глобального экстремума функции многих переменных в замкнутой области сводится к отысканию стационарных точек этой функции в области и определению значения функции в этих точках ; отысканию значений функции на границе области, нахождению из множества этих значений наименьшего и наибольшего.

51. Задачи приводящие к двойному интегралу. (К2-94)

Пусть в Oxy задана ограниченная область D, на которой определена z=f(x, y)³0;

Рисунок:

DS_i, D_i ; (x_i, h_i)ÎD_i , f(x_i, h_i);

Sf(x_i, h_i)DS_i {i=1; n}

D ¾ max, d, D_i à 0

limSf(x_i, h_i) {i=1; n}{Dà0}=òòf(x, y)dxdy {D}

m=m(x, y) ¾ распределение массы

òòm(x, y)dxdy {D}

52. Определение двойного интеграла. (К2-95)

DS_i=Dx_iDy_i ; Пусть на замкнутой ограниченной области D задана непрерывная функция f(x ,y); Разобъём D на n частей: D=SD_i {i=1; n)

Выберем в ней D_i ¾ область и в ней выберем точку (x_i, h_i) и посчитаем значение функции в этой точке. Пусть DS_i ¾ площадь D_i и пусть D ¾ максимальный диаметр области D_i .

Составим интегральную сумму Римана: SSа(x_i, h_i)Dx_iDy_j {i=1, j=1, n};

Если limSSа(x_i, h_i)Dx_iDy_j {i=1, j=1, n} существует и не зависит от выбора точки, то этот предел называется двойным (двукратным) интегралом: DS_i=òòf(x, y)dxdy {D}

Свойства двойного интеграла:

1. f(x, y)=1 => òò{D}dxdy=S ¾ площадь области D

2. Аддитивность: òò{D}af(x, y)+bg(x, y)]dxdy=aòò{D}f*x, y)dxdy+bòòg(x, y)dxdy

3. Если D представлена в виде D=D₁ÅD₂ ¾ прямая сумма => òò{D}f(x, y)dxdy=

=òò{D₁}f(x, y)dxdy+òò{D₂}f(x, y)dxdy

4. f(x, y)³0 => òò{d}f(x, y)dxdy³0

5. Если f(x, y)³g(x, y), то и òò{D}f(x, y)dxdy³òò{D}g(x, y)dxdy

6. Оценка по модулю: |òò{D}f(x, y)dxdy|£òò{D}|f(x, y)dxdy

7. Пусть m=inf(x, y) {x, yÎD}; M=sup(x, y) {x, yÎD} =>

mS£òò{D}f(x, y)dxdy£MS, S ¾ площадь D

8. Если область D замкнута и ограничена, а функция f непрерывна, то существует точка (x, h)ÎD , òò{D}f(x, y)dxdy=f(x, h)×S

53. Сведение двойного интеграла к повторному. (К2-99)

Рассмотрим на примере вычисления двойного интеграла:

D={(x, y)|, a£x£b, c£y£d} ; f(x, y)=j(y)×Y(x)

a=x₁<x₂<x₃<...<x_m<b ; c=y₁<y₂<y₃<...<y_n<d ;

x_i-1£x_i<x_i ; y_j-1£h_j<y_j ; SSY(x_i)Dx_ij(h_j)Dy_j {i=1, m ; j=1, m}=SY(x_i)Dx_i×Sj(h_j)Dy_j =>

òòj(y)Y(x)dxdy {D}= òY(x)dx {a; b}òj(y)dy {c; d}

Пусть D ¾ в виде прямоугольника:

z=f(x, y); c£y£d ¾ зафиксируем y => Ф(y)=òf(x, y)dx {a; b}

òФ(y)dy {c; d} = ò(ò(f(x, y)dx {a; b})dy {c; d}=òdyòf(x, y)dx {a; b}{c; d ¾ при dy}

¾ повторный интеграл.

a£x£b ; Y(x)=òf(x, y)dy {a; b}; òY(x)dx {a; b} = ò(òf(x, y)dy {c; d})dx {a; b}

Теорема: пусть f(x, y) непрерывна в области d =>

òòf(x, y)dxdy {D} = òdxòf(x, y)dx {c; d} {a; b ¾ при dx}=

=òdyòf(x, y)dx {a; b} {c; d ¾ при dy}

a=x₁<x₂<x₃<...<x_m<b ; c=y₁<y₂<y₃<...<y_n<d ;

òòf(x ,y)dxdy {D}=S{i=1, m-1}ò{x_i; x_i+1}(S{j=1, n-1}ò{y_j; y_j+1}f(x, y)dy)dx;

j(x)=òf(x, y)dy{y_j, y_j+1}=S{i=1; m-1}S{j=1; n-1}ò{x_i, x_i+1}ò{y_j; y_j+1}f(x, y)dy)dx;

a£x_i£b ; òf(x, y)dy {y_j; y_j+1}=f(x_i, y)Dy_j

c£h_i£d ; òf(x_i, y)dx {x_j; x_j+1}=f(x_i, y_j)Dy_jDy_j ;

òòf(x, y)dxdy {D}=S{i=1; m-1}S{j=1; n-1}f(x_i, h_j)Dx_iDy_j=

=òdxòf(x, y)dy {c; d} {a; b ¾ при dx}

Если задана область D:

y₁=j₁(x); y₂=j₂(x); y₁<y₂ ; x=a ; x=b ; a<b ;

òòf(x, y)dxdy {D}=òdxòf(x, y)dy {j₁; j₂} {a; b ¾ при dx}

x₁=Y₁(y); x₂=Y₂(y); x=c; y=d; c<d ;

54. Тройной интеграл: определение, свойства. (К2-105)

Пусть есть замкнутая ограниченная область J, границей которой служит кусочная гладкая поверхность. В каждой точке задана функция W=f(x, y, z). Разобъём J кусочно гладкими поверхностями на элементарные области DV_i : (x_i, h_i, z_i)ÎDV_i ; i=1..n;

D ¾ диаметр области DV_i ; Sf(x_i, h_i, z_i)DJ_i {i=1, n} ¾ сумма Римана

Если существует предел, который не зависит от способа разбиения и выбора точки внутри DV_i, то он называется тройным интегралом и обозначается:

limSf(x_i, h_i, z_i)DJ_i {i=1, n}{Dà0}=òòòf(x, y, z)dJ {V}=òòòf(x, y, z)dxdydz {V}

Если f(x, y, z) непрерывная, то интеграл существует.

Свойства:

1. Если f(x, y, z)=1, то òòòdJ {V}=òòòdxdydz {V}=J ¾ объём V

2. f(x, y, z) , g(x, y, z) ¾ непрерывные => òòò[af(x, y, z)+bg(x, y, z)]dxdydz {V}=

=aòòòf(x, y, z)dxdydz {V} + bòòòg(x, y, z)dxdudz {V}

3. Если V=V₁ÅV₂ ¾ прямая сумма (пересечение не содержит внутренних точек) =>

òòòf(x, y, z)dxdydz {V} =òòòf(x, y, z)dxdydz {V₁} + òòòf(x, y, z)dxdydz {V₂}

4. Если f(x, y, z)³0, непрерывная, то òòòf(x, y, z)dJ {V} ³0

5. f(x, y, z)³g(x, y, z) => òòòf(x, y, z)dJ {V} ³ òòòg(x, y, z)dJ {V}

6. |òòòf(x, y, z)dJ {V}|£òòòf(x, y, z)dJ {V}

7. m=inff(x, y, z) {(x, y, z)ÎV}; M=supf(x, y, z) {(x, y, z)ÎV} => mJ£òòòf(x, y, z)dJ£MJ

8. $(x, h, z), òòòf(x, y, z)dJ=f(x, y, z)×J

9. lim(1/S)[òòf(x, y)dxdy {D}]{Dà0}=f(x, y)

lim(1/J)[òòòf(x, y, z)dxdydz {D}]{Dà0}=f(x, y, z)

55. Сведение тройного интеграла к повторному. (К2-108)

Пусть V ¾ параллелепипед.

П={(x, y, z) | a£x£b , c£y£d , e£z£f)} ; f(x, y, z)=j(x)Y(y)c(z)

òòòf(x, y, z)dxdydz {V} = òj(x)dx {a; b} òY(y)dy {c; d} òc(z)dz {e; f} ;

òòòf(x, y, z)dV {V} = ò{a; b}dxò{c; d}dyò{e; f}f(x, y, z)dz=

=ò{c; d}dyò{a; b}dxò{e; f}f(x, y, z)dz = ....... = ò{a; b}(ò{c; d}(ò{e; f}f(x, y, z)dz)dy)dx

Пусть a£x£b ; j₁(x)£y£j₂(x) , g₁(x, y)£z£g₂(x, y)

òòòf(x, y, z)dV {V}= ò{a; b}dxò{j₁(x); j₂(x);}dyò{g₁(x, y); g₂(x, y)}f(x, y, z)dz

56. Геометрический смысл Якобиана. (К-112 (111))

(W в u, v) и (D в x, y) ¾ обдасти в системах координат.

$ g: R² à R² ; d(W)=D , g^-1(D)=W Рисунок:

Пусть в u, v есть прямоугольник:

A₀A₁=dni ; A₀A₂=dVj ; SP₂=dudv ;

a¹=g(A₀)g(A₁) ; a²=g(A₀)g(A₂) ;

a¹=(x(u+du, v)-x(u, v))~((дx/дu)du)=(дx/дu)du;

(y(u+du, v)-y(u, v)) ((дy/дu)du) (дy/дu)

a²=(x(u, v+dv)-x(u, v))~((дx/дv)dv)=(дx/дv)dv;

(y(u, v+dv)-y(u, v)) ((дy/дv)dv) (дy/дv)

SП₂=|[a¹, a²]|=|a¹||a²|sinÐ(a¹, a²); (a¹, a²)= |a¹||a²|cosÐ(a¹, a²);

SП₂²=|a¹|²×|a²|²sin²Ð(a¹, a²) + |a¹|²×|a²|²cosÐ(a¹, a²) - (a¹, a²)² =

=|(a¹, a¹) (a¹, a²)|=

|(a², a¹) (a², a²)| |

=|(дx/дu)²+(дy/дu)² (дx/дu)(дxдv)+(дyдu)/(дuдv)|(du)²(dv)²=

|(дx/дu)(дyдv)+(дxдu)/(дyдv) (дx/дv)²+(дu/дv)² |

=[(дx/дu)(дy/дv) - (дx/дv)(дy/дu)]²(du)²(dv)² ;

SП₂=|(дx/дu) (дx/дv)|×Sp₂

|(дy/дu) (дy/дv)|

lim(SП₂/Sp₂){Dà0}=модуль от |(дx/дu) (дx/дv)|×Sp₂

|(дy/дu) (дy/дv)|

Геометрический смысл ¾ на сколько изменится площадь при переходе между системмами координат.

57. Замена переменных в двойных интегралах. (К3-1)

z=f(x, y), D, g: R² à R² ; g(W)=D, g^-1(D)=W;

g: x=x(u, v); y=y(u, v);

òòf(x, y)dxdy=òòf(x(u, v), y(u, v)) {W} | |D(x, y)/D(u, v)| | dudv

Полярная система координат и переход к ней:

Система: x=rcosj , y=rsinj , 0£r£+¥ , 0£=r£2p

|r|=||дx/дr дx/дj|| = ||cosj -rsinj||==|rcos²j+rsin²j|=j

|дy/дr дy/дj| |sinj rcosj|

òòf(x, y)dxdy {D} =òòf(rcosj, rsinj)rdrdj {D}

Обощённая полярная система координат:

x=arcosj ; y=brsinj ; |J|abr ; J ¾ якобиан

òòf(x, y)dxdy {D} = òòf(arcosj, brsinj)abrdjdr {D’}

58. Замена переменных в тройных интегралах.

Цилиндрическая система координат. (К3-4)

g: x=x(u, v, m); y=y(u, v, m); z=z(u, v, m) ;

òòò{W}f(x, y, z)dxdydz=òf(x(u, v, m), y(u, v, m), z(u, v, m))×||D(x, y, z)/D(u, v, m)||dudvdw ;

J=|дx/дu дy/дv дx/дw|

|дy/дu дy/дv дy/дw|

|дz/дu дz/дv дz/дw|

Циклическая система координат:

Система: x=rcosj , y=rsinj , z=z ; |J|=r

òòò{V}f(x, y, z)dxdydz=òòdxdy {D} òf(x, y, z)dz {z₁=g₁(x, y); z₂=g₂(x, y)}=

={j₁£j£j₁ , r₁(j)£r£r₂(j) , g₁(x, y)£z£g₂(x, y)}=òòò{W}f(rcosj, rsinj, z)rdjdz=

=ò{j₀; j₁}djò{r₁(j); r₂(j)}rdrò{g₁(rcosj, rsinj); g₂(rcosj, rsinj)}f(rcosj, rsinj, z)dz

59. Замена переменных в тройных интегралах.

Сферическая система координат. (К3-7 (К3-4))

g: x=x(u, v, m); y=y(u, v, m); z=z(u, v, m) ;

òòò{W}f(x, y, z)dxdydz=òf(x(u, v, m), y(u, v, m), z(u, v, m))×||D(x, y, z)/D(u, v, m)||dudvdw ;

J=|дx/дu дy/дv дx/дw|

|дy/дu дy/дv дy/дw|

|дz/дu дz/дv дz/дw|

Сферическая система координат:

Рисунок:

0£r<+¥ ; 0£Q£p ; 0£j£2p; O’=MM’’ ; x/OM=cosj ; x=rsinQcosj ; y/OM’=sinj ;

Система: x=rsinQcosj , y=rsinQsinj , z=rcosQ ;

J=|sinQcosj rcosQcosj -rsinQsinj|=

|sinQsinj rcosQsinj rsinQcosj|

|cosQ -rsinQ 0 |

=cosQ|rcosQcosj -rsinQsinj|+

|rcosQsinj rsinQcosj|

+rsinQ|sinQcosj -rsinQsinj|=

|sinQsinj rsinQcosj|

=cosQ(r²sinQcosQcos²j+r²sinQcosQsin²j)+rsinQ(rsin²QsinQcosj+

+rsin²Qsin²j)=r²sinQcos²Q+r²sin³Q=r²sinQ;

òòòf(x, y, z)dxdydz {V} = òòòf(rsinQcosj, rsinQsinj, rcosQ)×r²sinQdrdjdQ {W};

60. Площадь поверхности. (К3-12)

Способы задания поверхности:

а) R³: z=f(x, y) и пепрерывные f’(x) и f’(y) => задана явно

б) F(x, y, z)=0 ; gradF{F’_x, F’_y, F’_z} ¹0 в каждой точке =>неявное задание поверхности

в) u, v Î W в u_ov ¾ системе координат.

Система: x=x(u, v), y=y(u, v), z=z(u, v) ; (u, v) Î W;

|D(y, z)/D(u,v)| ; |D(z, x)/D(u,v)|; |D(x, y)/D(u,v)| ¾ одновременно неравны нулю => параметрическое задание

Вычисление площади:

Рисунок:

A₀(u ,v), A₁(u+du, v), A₂(u, v+dv); t₁={x’_u, y’_u, z’_u}; t₂={x’_v, y’_v, z’_v};

B₀B₁={x(u+du, v)-x(u, v)}»{x’_uDu}»{x’_u}Du;

{y(u+du, v)-y(u, v)} {y’_uDu} {x’_u}

{z(u+du, v)-z(u, v)} {z’_uDu} {x’_u}

B₀B₂={x(u, v+dv)-x(u, v)}»{x’_u}Dv;

{y(u, v+dv)-y(u, v)} {x’_u}

{z(u, v+dv)-z(u, v)} {x’_u}

DS=|B₀B₁||B₀B₂|sin(L)=|[B₀B₁, B₀B₁]|=

=|| i j k ||=||D(y, z)/D(u, v)|; |D(z, x)/D(u, v)|; |D(x, y)/D(u, v)||DuDv

| x’_u y’_u z’_u|

| x’_v y’_v z’_v|

n=[t₁;t₂]= | i j k |

| x’_u y’_u z’_u|

| x’_v y’_v z’_v|

S=òò{W}sqrt[|D(y, z)/D(u, v)|² + |D(z, x)/D(u, v)|² + |D(x, y)/D(u, v)|²]dudv=

=òò{W}sqrt(A²+B²+C²)dudv;

Параметризация: Стстема: x=u, y=v, z=f(u, v) ; t_u={1; 0; f’_u}; t_v={0; 1; f’_v};

n={-f’_u; -f’_v ; 1} ; S=òòsqrt[1+(f’_x)²+(f’_y)²]dxdy;

Если функция задана неявно: F(x, y, z)=0; z’_x=-F’_x/F’_z ; Z’_y=-F’_y/F’_z ;

S=òò{D}sqrt[1+(F’_x/F’_z)²+(F’_y/F’_z)²]dxdy=òò{D}sqrt[(F’_x)²+(F’_y)²+(F’_z)²]dxdy ;

ИТОГО:

dS=sqrt[1+(f’_x)²+(f’_y)²]dxdy ; dS=sqrt[(F’_x)²+(F’_y)²+(F’_z)²]dxdy ;

61. Задачи приводящие к криволинейному интегралу 1-го рода. (К3-23)

Вычисление массы кривой в пространстве:

R³, L, m(x, y, z);

Разобъём кривую от A до B на n частей: L₁, L₂, ... , L_n ; DL_i ; i=1..n;

На L_i выбираем точку: M_i(x_i, h_i, z_i);

Dm_i=m(x_i, h_i, z_i)DL_i ;

m»Sm(x_i, h_i, z_i)DL_i (i=1, n); D=max(DL_i} {i=1..n}

m=òm(x, h, z)DL = limSm(x_i, h_i, z_i)DL_i {Dà0}{i=1, n};

Центр тяжести:

X_c=[S{i=1, n}x_im(x_i, h_i, z_i)DL_i][Sm(x_i, h_i, z_i)DL_i];

Y_c=[S{i=1, n}h_im(x_i, h_i, z_i)DL_i][Sm(x_i, h_i, z_i)DL_i];

Z_c=[S{i=1, n}z_im(x_i, h_i, z_i)DL_i][Sm(x_i, h_i, z_i)DL_i];

x_c=(1/m)òxm(x, y, z)dL {L} ; y_c=(1/m)òym(x, y, z)dL {L} ; z_c=(1/m)òzm(x, y, z)dL {L}

m=òm(x, y, z)dL {L}

62. Определение, вычисление, свойства криволинейного интеграла 1-го рода. (К3-24)

Определение: пусть в R³ есть L, f(x, y, z) ¾ распределение плотности.

Разбиваем L на n частей: L₁, L₂ ... L_n ; DL_i , i=1..n;

На L_i выбираем точку M_i(x_i, y_i, z_i);

Если существует предел, не зависящий от способа разбиения и выбора точки, то он называется криволинейным интегралом первого рода и записывается так:

limSf(x_i, y_i, z_i)dL_i {i=1, n}{Dà0} = òf(f, x, z)dL {L}

Вычисление: L: x=x(t), y=y(t), z=z(t) , tÎ[a, b] ; f(x(t), y(t)), z(t));

dL=|t|dt=sqrt[(x’_t)², (y’_t)², (z’_t)²]dt => òf(x, y, z)dL {L} =

=ò{a; b} f(x(t), y(t), z(t))×sqrt[(x’_t)², (y’_t)², (z’_t)²]dt ;

Если L в плоск OxOy задана явно: L=g(x), a£x£b => параметризуем

Система: x=t, y=g(t) ; => òf(x, y)dL {L} =òf(x, g(x))sqrt[1+(g’(x))²]dx;

Свойства:

1. Аддитивность: ò[af(x, y)+bg(x, y)]dL = aò{L}f(x, y)dL ± bò{L}g(x, y)dL ;

2. òf(x, y)dL {L}=òf(x, y)dL {L₁}+òf(x, y)dL {L₂}

3. òdL=L {L} ¾ длина дуги

4. |òf(x, y)dL {L}|£ò|f(x, y)|dL {L}

5. òf(x, y)dL {L} =f(x, h)L

6. òf(x, y)dL {AB}=òf(x, y)dL {BA}

63. Задачи приводящие к криволинейному интегралу 2-го рода. (К3-28)

Работа в силовом поле: a=(P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z));

P, Q, R ¾ функции, непрерывные в каждой точке L.

Разбиваем L на n частей; A₀=M₀; M₁, M₂ ... M_n=B;

Выбираем N_i(x_i, y_i, z_i); t₀ ¾ направление движения вдоль кривой

DA_i»(a(P, Q, R), t₀)DL_i) ; A»S(a, t_i)DL_i {i=1, n}; A=S(a, t_i)DL_i {i=1, n} = ò(a, t_i)dL {L};

64. Определение, вычисление, свойства криволинейного интеграла 2-го рода. (К3-29)

Определение: кривая в пространстве называется ориентированной, если для неё указано, какая точка ¾ начало, а какая ¾ конец. Пусть в пространстве R³ задана гладкая ориентированная кривая L, в каждой точке которой определены непрерывные функции с P, Q, R. Разбиваем L на n частей. На i-й части выбираем N_i(x_i, y_i, z_i);

t_i ¾ задаёт движение в положительном направлении

Если существует предел, не зависящий от разбиения и выбора точки, то он называется криволинейным интегралом второго рода (по координатам) и записывается в виде:

lim(S(a(N_i), t_i)DL_i {i=1, n}){Dà0} = ò(a, t⁰)dL {L}

|t |dL=sqrt[(x’_t)²+(y’_t)²+(z’_t)²]dt; t⁰ =t/|t | ; (a, t⁰)dL=(a, t/|t |)t dt=(a, t)dt

ò(a, t⁰)dL {L}=ò(a, t)dt {L}=ò(P×x’_t + Q×y’_t + R×z’_t)dt=òPdx+Qdy+Rdz {L} ¾ вид в координатах

Вычисление:

1) L: Система: x=x(t), y=y(t), z=z(t), tÎ[t₀, t₁] ;

ò(a, t)dL {L}=òPdx+Qdy+Rdz {L} = ò{t₀, t₁}[P(x(t), y(t), z(t))x’t + Q(x(t), y(t), z(t))y’t +

R(x(t), y(t), z(t))z’t] ; ò(a, t⁰)dL {L} = ò{t₀, t}[P(x(t), y(t)x’_t)+ Q(x(t), y(t)y’_t)+

+R(x(t), y(t), z(t)z’_t)]dt;

2) L: y=g(x); a£x£b; ò(a, t)dL {L} =ò{a; b} (P(x, g(x))+Q(x, (g(x)+g’(x))dx

Связь первого и второго интегралов:

t⁰=(cosa, cosb, cosg) ; cos²a + cos²b + cos²g= 1 ;

ò(a, t⁰)dL {L} = ò(Pcosa+Qcosb+Rcosg)dL=òPdx+Qdy+Rdz {L};

Свойства:

1. Адитивность: ò(a₁+a₂, t⁰)dL{L}=ò(a₁, t⁰)dL{L}+(a₂, t⁰)dL{L}

2. ò(a, t⁰)dL{L⁺}= - ò(a, t⁰)dL{L^¾}

Если L замкнута, то: ’Pdx+Qdy+Rdz {L}, Pdx+Qdy+Rdz ¾ дифференциальная форма

1. ’Pdx+Qdy+Rdz {L}=0

2. òPdx+Qdy+Rdz {L}=ò{AB}Pdx+Qdy+Rdz , A ¾ начало, B ¾ конец.

3. $ U: dU=Pdx+Qdy+Rdz; P=дu/дx ; Q=дu/дy ; R=дu/дz ;

4. Для любой дифференциальной формы Pdx+Qdy+Rdz, где P, Q, R ¾ непрерывные функции, выполняется: дR/дy=дQ/дz ; дP/дz=дR/дx ; дQ/дx=дP/дy; ¾ условия интегрируемости.

65. Связь криволинейного интеграла 1-го рода с криволинейным интегралом 2-го рода. Свойства криволинейного интеграла 2-го рода. (К3-31)

Связь первого и второго интегралов:

t⁰=(cosa, cosb, cosg) ; cos²a + cos²b + cos²g= 1 ;

ò(a, t⁰)dL {L} = ò(Pcosa+Qcosb+Rcosg)dL=òPdx+Qdy+Rdz {L};

Свойства:

1. Адитивность: ò(a₁+a₂, t⁰)dL{L}=ò(a₁, t⁰)dL{L}+(a₂, t⁰)dL{L}

2. ò(a, t⁰)dL{L⁺}= - ò(a, t⁰)dL{L^¾}

Если L замкнута, то: ’Pdx+Qdy+Rdz {L}, Pdx+Qdy+Rdz ¾ дифференциальная форма

1. ’Pdx+Qdy+Rdz {L}=0

2. òPdx+Qdy+Rdz {L}=òPdx+Qdy+Rdz , A ¾ начало, B ¾ конец.

3. $ U: dU=Pdx+Qdy+Rdz; P=дu/дx ; Q=дu/дy ; R=дu/дz ;

4. Для любой дифференциальной формы Pdx+Qdy+Rdz, где P, Q, R ¾ непрерывные функции, выполняется: дR/дy=дQ/дz ; дP/дz=дR/дx ; дQ/дx=дP/дy; ¾ условия дифференцируемости.

66. Независимость криволинейного интеграла 2-го рода от пути

интегрирования. (ЖК-333)

Теорема: пусть P, Q, R ¾ непрерывно дифференцируемые функции в односвязной области V. Тогда следующие 4 условия равносильны:

1. По любому замкнутому пути l, расположенному в V: ’Pdx+Qdy+Rdz=0;

2. Интеграл ò{l}Pdx+Qdy+Rdz не зависит от пути интегрирования, т.е.

ò{l₁}Pdx+Qdy+Rdz=ò{l₂}Pdx+Qdy+Rdz , где l₁, l₂ ¾ произвольные пути,

расположенные в V и имеющие общие начало и конец.

3. Существует непрерывно дифференцируемая функция u=u(x, y, z) такая, что дифференциальная форма W=Pdx+Qdy+Rdz является её полным дифференциалом, т.е. (du=Pdx+Qdy+Rdz) ó (дu/дx)=P, (дu/дy)=Q, (дu/дz)=R

4. Для дифференциальной формы W=Pdx+Qdy+Rdz выполнены условия: дR/дy=дQ/дz ; дP/дz=дR/дx ; дQ/дx=дP/дy; ¾ условия интегрируемости.

67. Восстановление функции по её полному дифферинциалу. (ЖК-337)

Пусть дифференциальная форма: W=P(x, y, z)dx+Q(x, y, z)+R(x, y, z)dz является полным дифференциалом функции u=u(x, y, z), определяемоей формулой:

u(x, y, z)=ò{x₀, x}P(t, y₀, z₀)dt+ò{y₀, y}Q(x, t, z₀)dt+ò{z₀, z}R(x, y, t)dt

где M₀(x₀, y₀, z₀) ¾ произвольная фиксированная точка, N(x, y, z) ¾ переменная точка области V. Тогда следующая формула определяет искомую функцию по её полному дифференциалу du=Pdx+Qdy+Rdz:

u(x, y, z)=ò{x₀, y₀, z₀; x, y, z}Pdx+Qdy+Rdz+C=ò{x₀, x}P(t, y₀, z₀)dt+ò{y₀, y}Q(x, t, z₀)dt+

+ò{z₀, z}R(x, y, t)dt + C;

Для функции двух переменных: u(x, y)=ò{x₀, y₀; x, y}Pdx+Qdy+c = ò{x₀, x}P(t, y₀)dx+

+ò{y₀, y}Q(x, t)dy + c ;