1. Метод Гаусса

Исторически первым, наиболее распространенным методом решения систем линейных уравнений является метод Гаусса, или метод последовательного исключения неизвестных. Сущность этого метода состоит в том, что посредством последовательных исключений неизвестных данная система превращается в ступенчатую (в частности, треугольную) систему, равносильную данной. При практическом решении системы линейных уравнений методом Гаусса удобнее приводить к ступенчатому виду не саму систему уравнений, а расширенную матрицу этой системы, выполняя элементарные преобразования над ее строками. Последовательно получающиеся в ходе преобразования матрицы обычно соединяют знаком эквивалентности.

2. Формулы Крамера

Метод Крамера состоит в том, что мы последовательно находим главный определитель системы, т.е. определитель матрицы А

Δ = det (a_ij)

и n вспомогательных определителей Δ_i (i = ), которые получаются из определителя Δ заменой i-го столбца столбцом свободных членов.

Формулы Крамера имеют вид:

Δ · x_i = Δ_i (i = ). (1)

Из (1) следует правило Крамера, которое дает исчерпывающий ответ на вопрос о совместности системы: если главный определитель системы отличен от нуля, то система имеет единственное решение, определяемое по формулам:

x_i = Δ_i / Δ.

Если главный определитель системы Δ и все вспомогательные определители Δ_i = 0 (i = ), то система имеет бесчисленное множество решений. Если главный определитель системы Δ = 0, а хотя бы один вспомогательный определитель отличен от нуля, то система несовместна.

3. Матричный метод

Если матрица А системы линейных уравнений невырожденная, т.е.

det A ≠ 0, то матрица А имеет обратную, и решение системы совпадает с вектором C = A^-1B. Иначе говоря, данная система имеет единственное решение. Отыскание решения системы по формуле X = C, C = A^-1B называют матричным способом решения системы, или решением по методу обратной матрицы.

№27. Представление чисел в памяти ЭВМ. Приближенные числа. Погрешность решения вычислительных задач, ее источники.

Существуют два способа представления чисел в памяти ЭВМ. Они называются так: форма с фиксированной точкой и форма с плавающей точкой. Форма с фиксированной точкой применяется к целым числам, форма с плавающей точкой — к вещественным числам (целым и дробным). Под точкой здесь подразумевается знак-разделитель целой и дробной части числа. Приближен­ным числом а называется число, незначительно отличающееся от точ­ного числа А и заменяющее его в вычислениях. Абсолютной погрешностью или, короче, погрешностью приближенного числа называется разность между этим числом и его точным значением Δx = |x – x0|. Относительной погрешностью приближённого числа называется отношение абсолютной погрешности приближённого числа к самому этому числу e(x)= Δx/ x0 Погрешность решения задачи обуславливается следующими причинами (источниками): 1. Математическое описание задачи является неточным, в частности, неточно заданы исходные данные описания.2. Применяемый для решения метод часто не является точным: получение точного решения задачи требует неограниченного или неприемлемо большого числа арифметических операций, и поэтому вместо получения точного решения приходится прибегать к приближенному.3. При выполнении арифметических операций на ЭВМ или любым другим образом, как правило, производятся округления. (Это же относится к вводу чисел в память ЭВМ и выводу полученных результатов.) Погрешности, соответствующие этим причинам, называются: неустранимая погрешность, погрешность метода, вычислительная погрешность.

№28. Прямые вычислительные методы решения систем линейных алгебраических уравнений. Метод оптимального исключения.

ыва

№29. Итерационные вычислительные методы решения систем линейных алгебраических уравнений. Метод простой итерации.

Рассмотрим систему:

Для неё итерационное вычисление буде т выглядеть так:

Сходимость методу будет осуществлять

Алгоритм:

1. Условие преобразуется к виду , где — сжимающая

2. Задаётся начальное приближение и точность

3. Вычисляется очередная итерация

- Если , то и возврат к шагу 3.

- Иначе и остановка.

№30. Итерационные вычислительные методы решения не линейных уравнений. Метод бисекции. Метод простой итерации.

Методы решения нелинейных уравнений (метод простой итерации, метод Ньютона, модифицированный метод Ньютона, метод секущих). Метод бисекции или метод деления отрезка пополам — простейший численный метод для решения нелинейных уравнений вида f(x)=0. Предполагается только непрерывность функции f(x).

Теорема (Больцано — Коши).Пусть функция , тогда

Следствие.Пусть функция , тогда если , то .

Т аким образом, если мы ищем ноль, то на концах отрезка функция должна быть разных знаков. Разделим отрезок пополам и возьмём ту из половинок, для которой на концах функция по-прежнему принимает значения разных знаков. Если серединная точка оказалось искомым нулём, то процесс завершается.Если задана точность вычисления , то процедуру следует продолжать до тех пор, пока длина отрезка не станет меньше .Для поиска произвольного значения достаточно вычесть из значения функции искомое значение и искать ноль получившейся функции. Задача заключается в нахождении корней нелинейного уравненияДля начала итераций необходимо знать интервал [x_L,x_R] значений x, на концах которого функция принимает значения разных знаков:Из непрерывности функции f и условия (2) следует, что на интервале [x_L,x_R] существует хотя бы один корень уравнения (в случае наличия нескольких корней метод приводит к нахождению одного из них)Выберем точку внутри интервалаЕсли f(x_M) = 0, то корень найден. Если разобьём этот интервал на два [x_L,x_M] и [x_M,x_R]. Теперь найдём новый интервал, в котором функция меняет знак. Пусть и соответственно корень находится внутри интервала [x_L,x_M]. Тогда обозначим x_R=x_M и повторим описанную процедуру до достижения требуемой точности. За количество итераций N первоначальный отрезок делится в 2^N раз. Метод простой итерации (метод последовательных повторений). Для применения метода простой итерации следует исходное уравнение преобразовать к виду, удобному для итерации . Это преобразование можно выполнить различными способами. Функция называется итерационной функцией. Расчетная формула метода простой итерации имеет вид: . Теорема о сходимости метода простой итерации. Пусть в некоторой - окрестности корня функция дифференцируема и удовлетворяет неравенству , где - постоянная . Тогда независимо от выбора начального приближения из указанной - окрестности итерационная последовательность не выходит из этой окрестности, метод сходится cо скоростью геометрической последовательности и справедлива оценка погрешности:, .Критерий окончания итерационного процесса. При заданной точности >0 вычисления следует вести до тех пор пока не окажется выполненным неравенство . Если величина , то можно использовать более простой критерий окончания итераций: .Ключевой момент в применении метода простой итерации состоит в эквивалентном преобразовании уравнения. Способ, при котором выполнено условие сходимости метода простой итерации, состоит в следующем: исходное уравнение приводится к виду . Предположим дополнительно, что производная знакопостояна и на отрезке [a,b]. Тогда при выборе итерационного параметра метод ходится и значение .