11.Определители и их свойства
Определителем называется число, записанное в виде квадратной таблицы
Основные свойства определителей:
1. Значение определителя не изменится, если:
- строки заменить на столбцы, такое действие называется транспонирование, т.е. действия, выполняемые со строками, справедливы и для столбцов;
- все элементы одной строки умножить на какое-либо число и прибавить к соответствующим элементам другой строки.
Такие действия с элементами определителя называются элементарными преобразованиями.
2. Определитель меняет знак на противоположный, если две каких-либо строки поменять местами.
3. Определитель равен нулю, если:
- все элементы какой-либо строки равны нулю;
- соответствующие элементы каких-либо двух строк равны;
- соответствующие элементы каких-либо двух строк пропорциональны.
12.Вычисление определителей
Чтобы вычислить определитель матрицы А второго порядка, надо от произведения элементов главной диагонали отнять произведение элементов побочной диагонали:
Для вычисления определителей третьего порядка существует такие правила.
Правило треугольника
Схематически это правило можно изобразить следующим образом:
Правило Саррюса
Справа от определителя дописывают первых два столбца и произведения элементов на главной диагонали и на диагоналях, ей параллельных, берут со знаком "плюс"; а произведения элементов побочной диагонали и диагоналей, ей параллельных, со знаком "минус":
Разложение определителя по строке или столбцу
Определитель равен сумме произведений элементов строки определителя на их алгебраические дополнения. Обычно выбирают ту строку/столбец, в которой/ом есть нули. Строку или столбец, по которой/ому ведется разложение, будет обозначать стрелкой.
Для вычисления
определителей четвертого порядка и
выше применяется либо разложение по
строке/столбцу, либо приведение к
треугольному виду, либо с помощью
теоремы Лапласа.(
Пусть 
-
определитель 
-го
порядка. Выберем в нем произвольные 
строк
(или столбцов), причем
.
Тогда сумма произведений всех миноров
-го
порядка, которые содержатся в
выбранных
строках
(столбцах), на их алгебраические
дополнения равна
определителю.)
Приведение определителя к треугольному виду
С помощью элементарных преобразований над строками или столбцами определитель приводится к треугольному виду и тогда его значение, согласно свойствам определителя, равно произведению элементов стоящих на главной диагонали.
13.Решение систем линейных уравнений методом Крамера
Метод Крамера - это метод решения квадратных систем линейных алгебраических уравнений с ненулевым определителем основной матрицы (то есть в случае, когда система уравнений имеет единственное решение). Основным математическим действием при решении системы уравнения методом Крамера является вычисление определителей матриц размерностью n (где n - количество уравнений в системе).
14.Решение слау методом Гаусса, Жордана-Гаусса
Ме́тод Га́усса — классический метод решения системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Это метод последовательного исключения переменных, когда с помощью элементарных преобразований система уравнений приводится к равносильной системе треугольного вида, из которой последовательно, начиная с последних (по номеру), находятся все переменные системы.
Метод Гаусса — Жордана (метод полного исключения неизвестных) — метод, который используется для решения квадратных систем линейных алгебраических уравнений, нахождения обратной матрицы, нахождения координат вектора в заданном базисе или отыскания ранга матрицы.