4.3.2 Виды функциональных зависимостей

Функциональная взаимозависимость. Если существует функциональная зависимость вида А—>В и В—>А, то между А и В имеется взаимно однозначное соответствие, или функциональная взаимозависимость, обозначаемая как А<—>В или В<—>А.

Если отношение находится в 1НФ, то все неключевые атрибуты функцио­нально зависят от ключа с различной степенью зависимости.

Частичной функцио­нальной зависимостью (частичной ФЗ) называется зависимость неключевого атрибута от части составного ключа. В рассматриваемом отношении атрибут Должн находится в функциональной зависимости от атрибута ФИО, являющегося частью ключа. Тем самым атрибут Должн находится в частичной зависимости от ключа отношения.

Альтернативным вариантом является полная функциональная зависи­мость неключевого атрибута от всего составного ключа. В нашем примере атрибут ВидЗан находится в полной функциональной зависимости от составного ключа.

Атрибут С зависит от атрибута А транзитивно (существует транзитивная зависимость), если для атрибутов А, В, С выполняются условия А—>В и В—>С, но обратная зависимость отсутствует. В отношении на рис. 4.4 транзитивной зависимостью связаны атрибуты:

Ф И О —>Д олжн —> Оклад

Между атрибутами может иметь место многозначная зависимость.

В отношении R атрибут В многозначно зависит от атрибута А, если каждому значению А соответствует множество значений В, не связанных с другими атрибутами из R,

Многозначные зависимости могут быть «один ко многим» (1:М), «многие к одному» (М:1) или «многие ко многим» (М:М), обозначаемые соответственно: А=>Б, А<=Би А<=>Б.

Например, пусть преподаватель ведет несколько предметов, а каждый предмет может вестись несколькими преподавателями, тогда имеет местозависимость ФИО<=>Предмет. Так, из таблицы, приведенной на рис. 4.4, видно, что преподаватель Иванов И.М. ведет занятия по двум предметам, а дисциплина СУБД - читается двумя преподавателями: Ивановым И.М. и Петровым М.И.

Замечание. В общем случае между двумя атрибутами одного отношения могут существовать зависимости: 1:1, 1:М, М:1 и М:М. Поскольку зависимость между атрибутами является причиной аномалий, стараются расчленить отношения с зависимостями атрибутов на несколько отношений. В результате образуется совокупность связанных отношений (таблиц) со связями вида 1:1, 1:М, М:1 и М:М (подраздел 3.2). Связи между таблицами отражают зависимости между атрибутами различных отношений.

Взаимно независимые атрибуты. Два или более атрибута называютсявзаимно независимыми, если ни один из этих атрибутов не является функционально зависимым от других атрибутов. В случае двух атрибутов отсутствие зависимости атрибута А от атрибута В можно обозначить так: A¬—>B. Случай, когда A¬—>В и B¬—>A, можно обо­значить А¬<—>В.

4.3.3 Аксиомы Армстронга

Чтобы определить ключи и понять логические следствия функциональных зависимостей в общем случае, необходимо вычислить замыкание F⁺ изF или по крайней мере знать для заданногоF и функциональной зависимостиX Y, содержится лиX YвF⁺. Для этого необходимо иметь правила вывода, которые указывают, как из одной или более зависимостей выводить другие зависимости.

Множество таких правил называют аксиомами Армстронга. Предположим, что задана некоторая схема отношения с множеством атрибутовМ, универсальным множеством атрибутов, и множество функциональных зависимостейF, связывающих только атрибуты, принадлежащиеМ. Тогда имеем следующие правила вывода (аксиомы):

А1: (рефлексивность). ЕслиY ≤ X ≤ М, то X Y логически следует изF. Заметим, что это правило даеттривиальные зависимости, т. е. зависимости, правая часть которых содержится в левой части. Его использование не зависит отF.

А2: (пополнение). ЕслиXY иZ≤ М, тоXUZ  YUZ. Важно напомнить, что данная зависимостьXY либо принадлежитF, либо может быть выведена из принадлежащихF зависимостей с использованием описываемых аксиом.

A3:(транзитивность). ЕслиXY иYZ, тоXZ.

Относительно легко доказывается, что аксиомы Армстронга являются надежными, т. е. приводят только к истинным заключениям. Это означает, что используя их, мы не можем вывести из F какую-либо зависимость, которая не принадлежитF⁺. Более сложно доказать их полноту, означающую, что эти аксиомы могут быть использованы для получения каждого справедливого следствия из зависимостей. Это означает, что при заданном множестве зависимостейF правила позволяют нам вывести все зависимости, принадлежащиеF⁺.

Из аксиом Армстронга выводятся еще 5 аксиом (расширения, продолжения, псевдотранзитивности, объединения и декомпозиции), используемых для построенияполного семейства ФЗ.