8. Анықталған интегралдың геометриялық және физикалық (механикалық ) қолданылулары.
Геометриялық
мағынасы:
Үзіліссіз функцияның анықталған
интегралы
сәйкес қисық сызықты трапецияның
ауданын береді.
Анықталған интегралдың геометриялық мағынасы.
Мысал1 : Синусоиданың бір жарты толқынының ауданын табу керек.
Анықталған интегралдың физикалық мағынасы.
Есептің
қойылымы:
нүктенің түзусызықты қозғалысының
V=V(t) жылдамдығын біле отырып
уақыт аралығында жүріп өткен жолын табу
керек.
X
M
0 x(0) x(T)
S
Нүктенің
траекториясы Ох осі болады деп есептеп
және х=х(t) қозғалыс теңдеуі болса, онда
(туындының
физикалық мағынасы) болады, бұдан
dx=V(t)dt
Осы теңдеуді 0 және Т аралығында интегралдайық
Анықталған интеграл түсінігі.
Анықтама.
анықталған
интегралы
деп
[a,
b] аралығында f(x)
функциясының алғашқы образының өсімшесін
айтамыз:
Сонымен
қатар, кез келген f(x)
функциясы үшін
интегралы бар болады
(а – кез
келген).
9. Теріс емес мүшелерімен берілген сандық қатардың жинақталу белгілері: Салыстыру, Коши, Даламбер, Рабе, интегралды Коши белгісі.
Анықтама.
, n
өрнегі ақырсыз сандық қатар деп аталады.
Ал
сандары
қатардың мүшелері, мұндағы
-
қатардың жалпы мүшесі деп аталады.
Анықтама. Мына қосындыларды жазып алайық:
Бұл
қосындылар қатардың дербес қосындылары
деп аталады.
Анықтама.
Егер қатардың n
да S
деребес
қосыныдысының ақырлы шегі S бар болса,
онда қатар жинақталатын қатар деп
аталып, былай жазылады
.
S
саны қатардың қосындысы деп аталады.
lim
болса,қатар жинақты;
lim
,
онда
қатар
жинақсыз.
Енді мүшелері
комплекс сандар болатын u
+u
+…=
u
(1)
қатарын және оның мүшелерінің абсолют
шамаларынан құралған | u
|+|u
|+…=
|u
|(2)
қатарын қарастырайық. Егер (2)
қатар жинақты болса, онда (1)қатар абсолют
жинақты қатар деп аталады.
Егер (1) қатар жинақты , ал (2) қатар жинақсыз
болса, онда (1) қатар шартты жинақты қатар
деп аталады.
10. Дәрежелік қатардың түсінігі. Абель теоремасы. Дәрежелік қатардың жинақталуы радиусы және интервалы. Дәрежелік қатардың қасиеттері.
Дәрежелік
қатарлар.
түріндеберілген
функциялық қатар дәрежелік
қатар деп
аталады. Егер
болса, онда бұл қатар мына түрге көшеді.
.
Егер
(11.6) дәрежелік қатар
болғанда жинақталатын қатар, ал
болғанда жинақталмайтын қатар болса,
онда
саны дәрежелік қатардың жинақталу
радиусы немесе жинақталу
облысы
деп аталады.
Жинақталу
радиусын анықтау үшін келесі
формулаларды қолданады
және
.
Мысал.
дәрежелік қатардың жинақталу радиусы
анықтау керек .
Шешімі
: Мұнда
,
сондықтан
.
Жинақталу интервалы
.
Мысал.
функциялық қатардың жинақталу радиусы
табу керек.
Шешімі.
Мұнда
, онда
.
Жинақталу интервалы
.
Жинақты
интервалында дәрежелік қатарды кез
келген рет мүшелепдифференциалдауға
және интегралдауға болады.
Дәрежелік
x
функциясының,мұндағы
n–
еркін алынған 1–ден артық натурал
сан,туындысын есептеуге арналған формула
мынадай:
(x
)'=nx
(1.6)
Бұл ережелер дәлелдеулермен
беріледі.Осы ережелерді қолдану арқылы
функциялардың туындылары табылады.
Дәрежелік қатардың қосындысының
туындысын дәрежелік қатарды мүшелеп
дифференциалдау арқылы алуға болады,
яғни
,
,
,
,
Мүшелеп интегралдау әдіс: Мүшелеп интегралдау формуласы деп келесі теңдікті айтамыз.
(1)
Мүшелепинтегралдау формуласы бір интегралды екінші интеграл арқылы өрнектейді. Бұл формула екінші интегралды есептеу мүмкіндігі болған жағдайда қолданылады. Кей жағдайда соңғы нәтижені алу үшін бөліктеп интегралдау әдісін қайталап қолдануға тура келеді.
1) - түрдегі интеграл
Егер, -п-дәрежелі көпмүшелік болып, келесі , k=Const, функциялардың бірі болса, онда деп алып, бөліктеп интегралданады. Бұл жағдайда мүшелепинтегралдау п рет қайталанады.
2) -түріндегі интеграл
Егер -п дәрежелі көпмүшелік, ал -келесі функциялардың бірі болса , онда . Деп алып, бөліктеп интегралданады.
3) түріндегі интегралдар, мұндағы , a,b- тұрақты сандар.
Бұл интегралдар айналымды интеграл деп аталады және екі рет бөліктеп интегралдау арқылы алғашқы интегралы бар теңдеуге келеміз. Интеграл осы теңдеуді шешу арқылы есептеледі.
Мысал 1 интегралын есептеу керек.
Шешуі деп аламыз. Сонда .(1)-формуласы бойынша,
Соңғы интегралға да мүшелепинтегарлдау әдісін пайдаланып
теңдігіне келеміз. Интегралдың осы мәнін (2) теңдігіне қойып, берілген интегалды табамыз:
Соңында,