6. Функциялардың иілу нүктелері.Функцияларды дөңестікке зерттеу.

Функция графигінің асимптоталары.

y=f(x)функциясымен берілген қисық (a; b)интервалында дөңес деп аталады, егер қисықтың барлық нүктелері осы интервалдағы оның кез-келген жанамасынан жоғары жатпаса және (а;b)интервалында ойыс деп аталады, егер қисықтың барлық нүктелері осы интервалдағы оның кез-келген жанамасынан төмен жатпаса.

Қисықтың дөңес бөлігін ойыс бөлігінен бөліп жататын М(х₀, f(x₀))нүктесі қисықтың иілу нүктесі деп аталады. М нүктесінде қисықтың жанамасы бар деп есептеледі.

Теорема (функция графигінің дөңестігінің (ойыстығының) жеткілікті шарты). Егер (а;b)интервалының барлық нүктелерінде y=f(x) функциясының екінші туындысы теріс (оң), яғни f"(x)<0 (f"(x)>0)болса, онда y=f(x)қисығы осы интервалда дөңес (ойыс).

Иілу нүктесінде функцияның екінші туындысы өзінің таңбасын өзгертеді, сондықтан ол нөлге айналады немесе жоқ болады.

Теорема (иілу нүктесінің жеткіліктілік белгісі). Егер х=х₀нүктесінде ƒ"(х₀)=0немесе ƒ"(х₀)жоқ болса және осы нүктеден өткенде f"(x)өзінің таңбасын өзгертсе, онда абсциссасы х=х₀ болатын нүкте y=f(x)қисығының иілу нүктесі.

L түзуі y=f(x)қисығының асимптотасы деп аталады, егер қисықтың М нүктесінен L түзуіне дейінгі қашықтық М нүктесі шексіздікке ұмтылғанда нөлге ұмтылса.

Егер х=х_i (і=1,...,п) нүктелері бар болып

lim f(x)= ±∞, болса, онда х= х_i түзулері у=ƒ(х)қисығының тік

(вертикаль) асимптоталары деп аталады.

Егер ƒ(х)

k= lim—— , b= lim (ƒ(х)-kх),шектері бар болса, онда

х→∞ х х→∞

y=kx+b түзлеріy-f(x)қисығының көлбеу асимптоталары деп аталады. (k=0 болғанда, көлденең (горизонталь) асимптотасы).

7. Интегралдаудың негізгі әдістері. Айнымалыны ауыстыру әдісі. Бөліктеп интегралдау әдісі.

Интегралдаудың негізгі әдістері

Бөліктеп интегралдау әдіс: Бөліктеп интегралдау формуласы деп келесі теңдікті айтамыз.

(1)

Бөліктеп интегралдау формуласы бір интегралды екінші интеграл арқылы өрнектейді. Бұл формула екінші интегралды есептеу мүмкіндігі болған жағдайда қолданылады. Кей жағдайда соңғы нәтижені алу үшін бөліктеп интегралдау әдісін қайталап қолдануға тура келеді.

1) - түрдегі интеграл

Егер, -п-дәрежелі көпмүшелік болып, келесі , k=Const, функциялардың бірі болса, онда деп алып, бөліктеп интегралданады. Бұл жағдайда бөліктеп интегралдау п рет қайталанады.

2) -түріндегі интеграл

Егер -п дәрежелі көпмүшелік, ал -келесі функциялардың бірі болса , онда . Деп алып, бөліктеп интегралданады.

3) түріндегі интегралдар, мұндағы , a,b- тұрақты сандар.

Бұл интегралдар айналымды интеграл деп аталады және екі рет бөліктеп интегралдау арқылы алғашқы интегралы бар теңдеуге келеміз. Интеграл осы теңдеуді шешу арқылы есептеледі.

Мысал 1 интегралын есептеу керек.