1. Фундаменталды тізбектер. Тізбектің жинақталуының Коши критерийі. Іргелі тізбектер немесе өзінде қосылатын тізбек, немесе Коши тізбегі – кез келген берілген ара қашықтық үшін тізбектің белгілі элементі бар, содан бастап тізбектің барлық элементтері бір бірінен берілгеннен аз ара қашықтықта орналасатаындай метрикалық кеңістік нүктелерінің тізбегі.

• метрикалық кеңістігінің нүктелерінің тізбегі іргелі деп аталады, егер ол Коши критерийін қанағаттандыратын болса:

Кез келген  үшін барлық үшін бар болатын натуралдық  бар

Кез келген іргелі тізбек дәл осы кеңістік элементіне түсетін кеңістікті толық дп атайды.

Әр бір түсетін тізбек іргелі болып табылады, бірақ әр бір тізбек өз кеңістігіндегі элементке түсе бермейді.

Метрикалық кеңістік шексіз азаюшы радиусы бар салынған жабық шарлардың кез келген жүйесі бір нүктеден тұратын бос емес қиылысуы бар болған кезде ғана толық болып табылады.

Егер тізбек іргелі болса және түсетін кіші тізбекті қамтитын болса, тізбектің өзі де түседі (сходится). Егер тізбек іргелі болса, онда ол шектеулі.

Коши критерийі

Берілген

(1)

тізбегінің ақырлы шегі болуы үшін алдын ала берілген кез келген ... үшін ... N номері табылып, ... теңсіздіктерін қанағаттандыратын барлық номірлер үшін

(5)

теңсіздігі орындалуы қажет және жеткілікті.

Қажеттігін дәлелдеуa саны (1)тізбектің ақырлы шегі деп ұйғаралық. (5) теңсіздіктің орындалатынын дәлелдеу керек.

Шынында, егер a саны(1)тізбектің шегі болса, кез келген үшінN номірі табылып, n>N және m>N теңсіздіктерін қанағаттандыратын барлық n мен m нөмірлері үшін төмендегі екі теңсіздік бір уақытта орындалады

және

сонда:

Жеткіліктілігін дәлелдеу.

Кез келген үш нүкте үшін N номірі табылып, және N теңсіздіктерін қанағаттандыратын барлық n мен m-дер үшін (5) теңсіздік орындалады деп ұйғаралық. Бұл жағдайда (1) тізбектің ақырлы шегі бар екенін дәлелдеу керек.

Шынында, m-нің бір мәнін белгілеп алсақ n>N теңсіздігін қанағаттандыратын барлық n-дер үшін (5) теңсіздікті

түрінде жазуға болады.

Демек, n>N теңсіздігін қанағаттандыратын барлық n-дерге сәйкес келетін айнымалы -нің мәндері мен сандарының арасында болады. (1) тізбектің тек мүшелері ғана бұл сандардың арасында болмауы мүмкін. Егер мен сандарымен шенелген аралықтың шекараларын (1) тізбектің мүшелерін түгелдей қамтитын етіп b мен d сандарына дейін кеңейтсек, (1) тізбектің барлық мүшелері  b,d  сегментінің бойына орналасады, демек (1) тізбек екі жағынан да шенелген тізбек болып шығады.

Сонда Больцано-вейерштрасс теоремасы бойынша (1) тізбектен cсанына ұмтылатын

тізбекшесін бөліп шығаруға болады , яғни

(6)

Енді (1) тізбекте сол с санына ұмтылатынын дәлелдесек, теорема толық дәлелденген болады. Шынында, (6) теңдік орындалады деу – алдын ала берілген кез келген үшін N номірі табылып, теңсіздігін қанағаттандыратын ...-нің барлық мәндері үшін

(7)

теңсіздігі орындалады деген сөз.

Екінші жағынан, (5) теңсіздігі m-ді -ге тең деп алсақ, (5) теңсіздік былай жазылады:

(8)

Сонда (7) және (8) теңсіздіктерден мына ара қатынас шығады.

2. Туынды. Туындының геометриялық және физикалық мағынасы.

Анықтама: f(x)(f’(x0)) функциясының x0 нүктесіндегі туындысы деп,

нольге ұмтылғандағы, осы қатынаст ұмтылатын санды айтамыз.

Элементар функциялар туындылары:

Дифференциалдау ережесі.

Егер қандай-да бір f(x) және g(x) функцияларының туындылары бар болса онда,

Күрделі функциялар туындысы:

Туындының геометриялық мағынасы.

x0 нүктесіндегі туынды, осы нүктедегі y=f(x) функциясының графигіне жүргізілген жанаманың бұрыштық коэфицентіне тең.

x0 нүктесіндегі y=f(x) функциясының графигіне жүргізілген жанама теңдеуі:

Туындының физикалық мағынасы.

Егер нүкте X осі бойынша қозғалса және оның координатасы x(t) заңдылығы бойынша өзгерсе, онда нүктенің жылдамдығы:

3. Тейлор формуласы. Тейлор формуласының қалдық мүшесі. Жуықтап есептеуде Тейлор формуласының қолданылуы.

Айталық функциясы бір аралықта анықталған болып, осы аралықтан алынған х=а нүктесінде n+1-ші ретке дейін туындылары бар болсын. Мұндай шарттар орындалғанда функцияның ролін көпшілік жағдайда n-ші дәрежелі көпмүшелік атқарады Осы көпмүшелікті мына түрінде алайық. Бұл көмүшелік пен функцияның арасында келесі шарттар орындалатын болсын

Сонғы (5.26) теңдіктер орындалса, онда (5.25) көпмүшелік х=а нүктесінің аймағында функцияны көпмүшелікпен алмастыруға болады.

Көпмүшеліктің С₀ , C₁ , C₂ …, C_n коэффициенттерін,(5.26) теңдіктерін пайдаланып, анықтайық. Ол үшін (5.25) көпмүшеліктің туындыларын табайық:

Егер (5.26) теңдіктерін пайдалансақ

Осы теңдіктерден аталған коэффициенттерді табамыз:

Осы коэффициенттерді (5.28) формулаға қойсақ формула анықталады.

арқылы функция мен көпмүшеліктін айырмасын

белгілесек

белгілесек, мұнда

онда

Осы формуланы Тейлор формуласы дейді. Мұнда қалдық мүшені түрінде жазылады. Егер Тейлор формуласында а=0 деп алсақ, онда (5.30)Бұл формуланы Маклорен формуласы деп айталады.

Тейлор формуласын қолдану мысалдар

1) функциясы берілсін.

Бұл функцияның == онда

Енді Маклорен формуласын пайдалансақ

Маклорен формуласы арқылы

мұнда

3) онда Маклорен формуласын пайдланып анықтаймыз

Мұнда

Теорема 5 Егер және оның -ге дейінгі барлық үзіліссіз туындылары нүктесінің маңайында бар және үзіліссіз болса, онда бұл функцияның осы нүктенің маңайындағы Тейлор қатары былай жазылады:

(7.13)

Мұндағы Тейлор қатарының қалдық мүшесі

және , деп алынған. Бұл формуланы функциясының Тейлор көпмүшелігі деп атайды.

4. Лопиталь ережесі және оны функциялардың шегін есептеуде қолдану.

Теорема. Егер функциялар f(x) және g(x) үшін мына шарттар орындалса: 1. олар ақырлы (а;в] жартылай интервалында анықталған, 2. , ,

3) (а;в) интервалында f' (х) пен g' (x) туындылары бар, сонымен бірге

g' (x)   4) ақырлы не ақырсыз шек   бар болса, онда  болады. Лопиталь ережесі төмендегі анықталмағандықты ашуға да қолданылады. 1. Егер  ,  болса, онда   түріндегі анықталмағандық болатын   шегінің зерттеуі сәйкес   және   түріндегі анықталмағандық болатын   және   шектерін зерттеуге келтіріледі. 2. Егер   болса,онда   түріндегі анықталмағандық болатын   шегінің зерттеуі   түріндегі анықталмағандық болатын  шегін зерттеуге келтіріледі. 3.   түріндегі анықталмағандықтар.   (f(x)>0) түрлендіру арқылы  түріндегі анықталмағандыққа келтіріледі. Мысал:   түрі: 

Мысалы мына   шектің алымы да бөлімі де x→+∞ ұмтылғанда шексіздікке ұмтылады.

Лопиталь ережесі

x→a ұмтылғанда f(x) пен g(x)-нің екеуі бірдей нөлге не шексіздікке ұмтылса онда мына формула орынды:

Осы ереженің көмегімен жоғарыдағы   шегін есептейік:

5. Функциялардың локальді экстремумы. Функциялардың өсуі және кемуі. Дифференциалдық есептеулердің маңызды есептерінің бірі функцияны зерттеудің жалпы амалдарын қарастыру болып табылады. у=ƒ(х)функциясы қандай да бір интервалда өспелі (кемімелі) деп аталады, егер х₁<х₂ үшін ƒ(х₁)<ƒ(х₂)(ƒ(х₁)>ƒ(х₂))теңсіздігі орындалса, яғни аргументтің үлкен мәніне функцияның үлкен мәні сәйкес келсе.

Функцияның өсу белгілерін атапөтейік.

1. Егер [а;b] кесіндісінде дифференциалданатын y=ƒ(x)функциясы өспелі (кемімелі) блса, онда осы кесіндіде функцияныңтуындысы теріс емес (оңемес), ягни f΄(x)> 0 (f΄(х)<0).

2.Егер [a;b] кесіндісінде үздіксіз және оныңішінде дифференциалданатын функцияныңоң(теріс) туындысы бар болса, онда функция осы кесіндіде өседі (кемиді).

y=f(x) функциясы қандай да бір интервалда кемімейтін (өспейтін) деп аталады, егер осы интервалдан алынған кез-келгенх₁<х₂үшінƒ(х₁) ≤ƒ(x₂)(ƒ(х₁)≥f(x₂))теңсіздігі орындалса.

Функция кемімейтін немесе өспейтін интервалдар функцияның монотондық интервалдары деп аталады. Функцияның туындысы нөлге айналатын немесе үзілетін нүктелері оның кризистік нүктелері деп аталады.

Егер кез-келген |Δх|≠0 шексіз аз үшін f(x₁+Δx)<f(x₁)теңсіздігі орындалса, онда х₁нүктесі y=f(x)функциясының локальды максимум нүктесі деп аталады. Егер кез-келген |Δх|≠0  шексіз аз үшін  f(x₂+Δx)>ƒ(x₂)х₂ теңсіздігі орындалса, онда  х₂  нүктесі у=f(x) функциясының локальды минимум нүктесі деп аталады. Максимум және минимум нүктелері функцияның экстремум нүктелерідеп аталады.

Теорема 1 (локальды экстремумның қажетті шарты).  Егер  y=f(x) функциясының х=х₀ нүктесінде экстремумы бар болса, ондаƒ΄(х₀)=0 немесе f(x₀)жоқ.

Теорема 2 (локальды экстремумның бірінші жеткілікті  шарты) . y=f(x) функциясы х=х₀ нүктесі жататын қандай да бір интервалда үздіксіз және осы интервалдыңбарлықнүктелерінде дифференциалдансын.  Егер х<х₀  болғанда  f(x)>0, ал х>х₀ болғанда  f(х)<0 болса, онда х=х₀ нүктесінде у=f(x) функциясының максимумы бар. Егер де х<х₀ болғанда f(x)<0, алх>х₀болғанда f(x)>0 болса, онда х=х₀ нүктесінде y=f(x)функциясыныңминимумы бар.

Теорема 3 (локальды экстремумның екінші жеткілікті шарты).y=f΄(x)функциясы екі рет дифференциалдансын жәнеf(х₀)=0болсын. Онда х= х₀нүктесінде функцияныңлокальды максимумы бар, егер f"(х₀)<0 және локальды минимумы бар, егерƒ"(х₀)>0болса. f"(х₀)=0болса, онда х=х₀ нүктесінде экстремум болмауы да мүмкін.

Жазықтықтың Q аймағында анықталған үзліссіз функцияны қарастырайық, осы аймақтың белгіленген ішкі нүктесі болсын.

Анықтама Егер нүктесінің маңайында жатқан барлық нүктелер үшін немесе теңсіздігі орындалса, онда функциясының нүктесінде максимумы (минимумы) бар деп айтады.

Көп айнымалды функцияның минимумы мен максимумын осы функцияның экстремумдары деп атайды.

Теорема (функцияның экстремумы болуының қажетті шарты) нүктесінде функциясының экстремумы бар болу үшін, оның бірінші ретті дербес туындылары осы нүктеде нөлге тең, яғни болуы немесе бұл туындылардың болмауы қажетті.

Теорема (функцияның экстремумы болуының жеткілікті шарты).

функциясының бірінші ретті дербес туындылары нүктесінде шарттарын қанағаттандыратын болсын және осы нүктенің маңайында осы функцияның екінші ретті үзіліссіз дербес туындылары бар болсын.

деп белгілесек, онда:

1) егер және болса, онда максимум нүктесі.

2) егер және болса, онда минимум нүктесі.

3) егер болса, онда нүктесінде функцияның экстремумы жоқ.

Ескерту: Егер болса, онда функциясының нүктесінде экстремумы болуы да болмауы да мүмкін. Сондықтан мұндай жағдайда қосымша зерттеулер жүргізуге тура келеді.

Енді жоғарыда айтылған тұжырымдарға бірнеше мысалдар келтірейік.

Мысал 5 функциясын экстремумға зерттейік.

Шешуі Дербес туындыларын табайық:

.

Демек нүктесі күдікті нүкте. Енді екінші ретті дербес туындыларын тауып нүктесіндегі мәнін есептейміз.

.

Сонда

.

Ендеше нүктесі берілген функцияның минимум нүктесі болады және