10. Предикаттар есептеуі. Аксиомалар нұсқалары мен қорыту ережелері. Предикаттар есептеуіндегі дедукция теоремасы (дәлелдеусіз) және оның салдары.
Предикаттар есептеуінде он екі аксиомалар нұсқасы бар.
Г1. (),
Г2. ()((())()),
Г3. (),
Г4. (),
Г5. (),
Г6. (),
Г7. ()(()(())),
Г8. ()(()(())),
Г9. ()(),
Г10. ,
Г11. x( x )(t/x),
Г12. (t/x)x( x ),
Ескерту. Г11, Г12 аксиомалар нұсқаларындағы t термі формуласында x айнымалысы үшін бос, яғни t терміні ң ешбір айнымалысы формуласында ешқандай квантормен байланбаған деп есептейміз. Осы нұсқалардағы (t/x) белгілеуі (x) формуласындағы x айнымалыларының барлық кездесулерін t термімен бір уақытта ауыстыруды білдіреді.
Г1 – Г10 аксиомалар нұсқалары біз білетініміздей пікірлер есептеуінің аксиомалар нұсқалары болып табылады, бірақ бұл тізімде кездесетін формулалар предикаттар логикасының формулалары. Сондықтан бұл нұсқалар бұрынғы нұсқалардың жалпы түрі деп есептеу керек.
Анықтама. Жоғарыда келтірілген нұсқалардан, және формулаларының кездесулерін предикаттар есептеуінің кез келген формуласымен ауыстыру арқылы алынған жаңа формулалар предикаттар есептеуінің аксиомалары деп аталады.
Мысалы,
Р1(x)
(Q2(х,у)
P1(х)),
хP1(х)
P1(у)
және Q2(х,у)
уQ2(х,у)
формулалары предикаттар есептеуінің
аксиомаларының мысалдары болады. Олар
Г1, Г11 және Г12 нұсқаларынан ондағы
формулалардың орнына нақты формулаларды
қою арқылы алынған. Келтірілген анықтама
предикаттар есептеуінің аксиомалары
ақырсыз жиын құратынын көрсетеді.
Предикаттар есептеуінде үш қорыту ережесі бар.
І.
Оқылуы:формуласы
және
формулаларының
тікелей
салдары болады.
Бұл қорыту ережесін МР
(оқылуы: modus
ponens )
ережесі деп атайды.
ІІ.
. Оқылуы:
у
(у)
формуласы 
(x)
формуласының тікелей
салдары болады.
ІІІ.
.
Оқылуы:
формуласы
формуласының тікелей
салдары болады.
Мұндағы ІІ және ІІІ ережелердегі x және у айнымалылары сәйкес және (x) формулаларының бос айнымалылары болмайды, ал у айнымалысы терм ретінде (x) формуласында x айнымалысы үшін бос болуы керек.
Дедукция
теоремасы. Егер
Г предикаттар есептеуінің формулалар
жиыны, ал және предикаттар
есептеуінің формулалары болса, онда
Г{}
Г
.
Жеке жағдайы: . (Айтылуы: Егер формуласы формуласының салдары болса, онда . формуласы теорема болады)
Салдар. Егер y – айнымалысы -да бос кездеспесе, онда
1) у((у))(у(у)),
2) х((х))(х(х)).
формулалары предикаттар есептеуінің теоремалары болады.
Дәлелдеуі. 1) у((у)) (у(у)) қорытуын дәлелдейік. Осы қорытуды құрайық.
1: у((у)) – гипотеза,
2: у((у))( (у)) – Г11 аксиомалар нұсқасынан, өйткені y – y үшін бос, ал -да y бос кездеспейді,
3: (у)– МР қорыту ережесін 1 мен 2-ге қолдану арқвылы,
4: ((у))(у(у)) – Г12 аксиомалар нұсқасынан;
5: у(у)– МР қорыту ережесін 3 пен 2-ге қолданамыз
Сонымен у((у)) у(у). Оған дедукция теоремасын бір рет қолдансақ, онда у((у))(у(у)).