8.Логика(буль) алгебрасының функциялары. Жегалкин полиномдары. Функциялардың толық жүйелері. Функциялардың негізгі кластары.

ЛОГИКА АЛГЕБРАСЫНЫҢ ФУНКЦИЯЛАРЫ.

Логика алгебрасын Р₂ арқылы белгілейік.

Анықтама. – негізгі жиын (айнымалылар бастапқы мәндері), онда болсын. Бұл жағдайда функциясын толық анықталған логика алгебрасының (немесе бул функциясы ) функциясы деп атаймыз. Анықтамадан логика алгебрасының аргументтері де, функцияның мәндері де тек ғана 0 немесе 1 болады. Бұндай функцияларды кесте арқылы немесе басқа қарапайым функциялардың суперпозициясы арқылы беруге болады. Мысалы айнымалылар саны болғанда

	0	1
0 1	0 0	1 1	0 1	1 0

Бұл жағдайда 0 функциясы – нөлдік константа, 1 функциясы – бірлік константа, – тепе-теңдік функциясы, ал функциясы функциясының терістеуі деп аталады. Кей жағдайларда соңғы функция үшін белгілеуі қолданылады.

Логика алгебрасының функциясының аргументтер саны үшін ондай функ-ң тізімін келтірейік. Ол үшін екі аргументті функ-ға сәйкес барлық мүмкін ақиқаттық мәндерді бір кестеге жинайық.

0 0 0 1 1 0 1 1	0 1 1 1	0 0 0 1	0 1 1 0	1 1 0 1	1 0 0 1	1 1 1 0	1 0 0 0

Кестені толтыру кезінде айнымалыларға сәйкес бағаналар лексикографикалық ретпен толтырылады (екілік сандардың өсу немесе кему ретімен. Біз өсу ретімен келтірдік).

– дизъюнкция, «немесе» функциясы: .

– конъюнкция, «және» функциясы:

2 модулі бойынша қосу (қатаң «немесе») н/е логикалық қосу:

импликация:

эквиваленттілік:

Шеффер таяқшасы:

Пирс жебесі:

ЖЕГАЛКИН ПОЛИНОМДАРЫ

Анықтама. (1) айнымалылар тізбегі берілсін. Осы айнымалылардың әр көбейткіші нөлден өзге немесе 1-ге тең болатын түріндегі көбейтінділерін (1) тізбектің монотонды конъюнкциясы деп атайды.

Анықтама. Егер кез келген үшін (2) өрнегіндегі әрбір қосылғыш не 0, не айнымалыларына қарағанда монотонды конъюнкциялар болса, онда (2) өрнегі Жегалкин полиномы деп аталады.

Теорема ( Жегалкин ). Логика алгебрасының кез келген функциясын айнымалыларына тәуелді бір ғана Жегалкин полиномы түрінде жазуға болады.

Дәлелдеуі. 1. Алдымен функцияны өрнектейтін Жегалкин полиномы болатынын көрсетейік. жүйесі толық.. Демек кез келген функциясын жүйесіндегі формула түрінде жазуға болады.

1) Үлестірімділік заңын пайдаланып, аталған формуладағы барлық жақшаларды ашсақ, функциясын қосындысы түрінде жазуға болады. Мұндағы әр қосылғыш айнымалылар мен бірлердің конъюнкциясы.

2) Енді болатынын ескеріп, барлық конъюнкцияларды элементар конъюнкцияларға түрлендіреміз. Сонымен бірге барлық конъюнкциялар монотонды болады.

3) Енді болатынын ескеріп, алынған қосындыны Жегалкин полиномына түрлендіреміз. Нәтижесінде түріндегі қосындыны немесе нөлдік константаны аламыз.

2. Енді осы полиномның біреу ғана болатынын көрсетейік. Алдымен айнымалыдан тұратын барлық монотонды конъюнкциялар санын анықтаймыз. Ол үшін келесі кестені салайық.

	1	1	0	1
	0	1	1	0
1	0	0	0	0

Кестедегі әрбір айн-ң мәні – ол монотонды конъюнкцияда кездессе 1-ге тең, кері жағдай 0-ге тең деп есептеледі. Ал бірлік константаға нөлдік тізімді сәйкес қоямыз. Бұл бейнелеу биекция болатыны түсінікті. Демек айнымалыдан тұратын барлық монотонды конъюнкциялар саны осындай кестелер санына тең, яғни -ге тең болады. Мысал. Енді кейбір қарапайым функцияларға сәйкес Жегалкин полиномдарын құрып көрсетейік.

1) ,

₂₎

,

₃₎

ЛОГИКАЛЫҚ АМАЛДАРДЫҢ ТОЛЫҚ ЖҮЙЕСІ.

Анықтама. Логика алгебрасының функциялар жиыны А берілсін. Егер кез келген логика алгебрасының функциясын А-да анықталған формулалар арқылы өрнектелсе, онда бұл жиынды логикалық амалдардың толық жүйесі деп атайды.

Теорема . A жүйесі толық жүйе болады.

Дәлелдеуі. Егер берілген функция нөлден және бірден өзге болса, онда оның мінсіз дизъюнктивті қалыпты формасын таба аламыз. Ал функцияның МДНФ-да тек А жүйесінен алынған амалдар ғана кездеседі. Функция нөлдік болған жағдайда ол формуласына, ал бірлік болғанда формуласына эквивалентті. Теорема дәлелденді.

Лемма . Егер А толық жүйе, ал оның кез келген функциясы басқа бір В жүйесінде анықталған формулалар арқылы өрнектелсе, онда В жүйесі де толық болады.

Дәлелдеуі. Кез келген логика алгебрасының функциясы мен екі және функциялар жүйелерін қарастырайық. жүйесі толық болғандықтан, функциясы осы жүйеде өрнектеледі. Яғни формуласы табылып, = . Теореманың шарты бойынша болатындай, формулалары табылады. Демек = . Яғни, берілген функция жүйесінде анықталған формула арқылы өрнектеледі. Осылайша барлық функцияларды жүйесінде өрнектей аламыз. Демек толық жүйе. Лемма дәлелденді.

Мысалдар: Келесі жүйелер толық жүйелер болады.

1. {∧,˥}-толық жүйе болады

x∨y=˥(˥x∧˥y)

2. {∨,˥}- толық жүйе болады

x∧y=˥(˥x∨˥y)

3){ | }-Шеффер таяқшасы толық жүйе болады

˥x=x|x

ТОЛЫҚ ЖҮЙЕЛЕРДІҢ МЫСАЛДАРЫ

Анықтама. Логика алгебрасының функциялар жиыны А берілсін. Егер кез келген логика алгебрасының функциясын А-да анықталған формулалар арқылы өрнектелсе, онда бұл жиынды логикалық амалдардың толық жүйесі деп атайды.

Теорема . A жүйесі толық жүйе болады.

Мысалдар: Келесі жүйелер толық жүйелер болады.

• ,

• ,

• ,

.

1. {∧,˥}-толық жүйе болады

x∨y=˥(˥x∧˥y)

2. {∨,˥}- толық жүйе болады

x∧y=˥(˥x∨˥y)

3){ | }-Шеффер таяқшасы толық жүйе болады

˥x=x|x

x∧y=˥(x|y)=(x|y)|(x|y)

4){ ∧,⨁,1 } - толық жүйе болады

˥x=x⨁1

x∨y=x⨁y⨁x∧y

ТҰЙЫҚ КЛАСТАР ҰҒЫМЫ.

Анықтама. болсын. -да анықталған формулалар арқылы өрнектелетін барлық функциялар жиынын -ның тұйықталуы деп атап, оны арқылы белгілейміз.

Қасиеттері.

1⁰. . 2⁰. . 3⁰. .

Анықтама. Егер логика алгебрасының функциялар жүйесі үшін болса, онда толық деп аталады.

Анықтама. Егер логика алгебрасының функциялар жүйесі үшін болса, онда тұйық класс деп аталады.

Тұжырым . тұйық класс және болсын, онда кез келген толық жүйе бола алмайды.

Тұйық жиындардың мысалдары.

класы тұйық болады.

Бұл класқа функциялары тиісті болады.

Ал функциялары класына тиісті емес.

Бұл кластағы функциялар саны -ге тең.

класы тұйық болады.

Бұл класқа функциялары тиісті болады.

Ал функциялары класына тиісті емес.

класының тұйықтығы.

Анықтама. Егер функциясы үшін болса, онда бұл функцияларды сызықты деп атайды. арқылы сызықты функциялар класын белгілейміз.

Бұл класқа 0, функциялары тиісті болады.

Ал функциялары класына тиісті емес.

Теорема . – тұйық класс.

Дәлелдеуі. және кез келген функциялары үшін болсын. Онда қосалқылық принципі бойынша:

.

Сондықтан, . Демек . Теорема дәлелденді.

Теорема 2.11. Монотонды функциялар ( М ) класы тұйық.

Дәлелдеуі. Тепе –теңдік функция монотонды болғандықтан, функциялардың суперпозицияларын тексерсек жеткілікті. және кез келген үшін болсын. Енді кез келген болатындай және түземдерін қарастырайық. деп алсақ, онда кез келген үшін және , яғни кез келген үшін . Егер , болса, онда анықтама бойынша . Онда функциясының монотондығы бойынша . Ал , болғандықтан, . Демек . Теорема дәлелденді.