6.Пікірлер логикасы. Олардың формулалары. Ақиқаттық кестелер. Мднф және мкнф. Логика заңдары.

Анықтама. Әріптердің, логикалық амалдардың және қосымша символдардың кез келген шектелген тізбегін сөз деп атаймыз. Егер теңдігі орындалса, онда сөзі бос сөз деп аталады және бұл сөз ешбір символдан тұрмайды деп есептейміз. Ал  және сөздері үшін болатындай және сөздері табылса, сөзі  сөзінің ішкі сөзі деп аталады. мүмкіндігі сақталғандықтан, әр сөз өзінің ішкі сөзі болады.

Анықтама. Ақиқат немесе жалған мәндердің бірін ғана қабылдайтын хабарлас сөйлемді пікір деп атаймыз. Пікірлерді Σ₁ жиынынан алынған әріптермен белгілейміз.

Анықтама:

1. Σ₁ жиынындағы әрбір әріп формула болады.

2. Егер φ,ψ формулалар болса, онда ˥φ,(φ∧ψ), (φ∨ψ), (φ ) және (φ ψ) сөздері де формулалар болады.

3. Кез келген формула 1-ші және 2-ші ережелерді ақырғы рет қолдану арқылы ғана құрылады.

Формулаларды кіші грек әріптерімен φ,ψ,θ,.... белгілейміз.

Мысал:

Төмендегі өрнектер пікірлер логикасының сөздері болады.

• (А ₁) ∧ А А₁

• ( ₄ )

• (( А₂∨˥ А₂) А₁

Мұндағы алғашқы екі сөз формула болмайды, ал үшіншісі пікірлер лог-ң формуласы.

Формуланың анықтамасы – олардың құрылуы бойынша индукциялық анықтама, сондықтан бұл анықтама формулалардың қасиеттерін формуланың күрделілігі бойынша индукцияны қолдану жолымен дәлелеуге мүмкіндік береді.

Формуладағы жақшалар санын кеміту мақсатымен, логикалық амалдардың орындалу реттерін тағайындайық. Алдымен (терістеу), екінші ретте (коньюкция) және (дизьюнкция), үшінші ретте (импликация), ең соңынан  (эквиваленттілік) орындалады деп келіселік. Кәдімгі алгебрадағы сияқты, бұл келісім формулаларды жазуды анықтаумен бірге, үйрене келе оның ұғымдылығын да арттырады. Мысалы, формуласын немесе шатасуға жол бермеу үшін кейбір жақшаларды сақтасақ, оны түрінде жазуға болады. Анықтама. Өзі де формула болатын берілген форм-ң ішкі сөзін ішкі формула дейміз

Формулалардың мағынасына көңіл аударайық.Әрбір пікір не ақиқат,не жалған мән қабылдауға тиіс.Ал кез келген формуланың ақиқаттық мәні-құрамындағы қарапайым пікірлердің ақиқаттық мәндерімен толық анықталады.Сондықтан формулалардың ақиқаттық мәнін анықтау үшін,алдымен ақиқаттық функция ұғымын енгіземіз.

АНЫҚТАМА. әріптері берілсін. Кез келген  функциясы ақиқаттық функция деп аталады. әріптерінің  функцисы бойынша бейнелерінің тізбегін ақиқаттық мәндердің орналасуы деп атаймыз .

АНЫҚТАМА.  формуласында кездесетін әріптер болғанда, кез келген  функциясын ақиқаттық функция (немесе интерпретация) деп айттық.Осы функцияға сәйкес  формуласының ақиқаттық мәнін ( Белгілеуі:  ) келесі тәртіппен анықтаймыз.

1. болса, онда ()  (A₁)

2.Егер     , онда ()  а  () = а және () = а

3.Егер  болса, онда ()  а  ()  ж

4.Егер      , онда ()  ж  () = ж немесе () = ж

5.Егер      , онда ()  ж  () = а және () = ж

Осы анықтаманы төмендегідей кестеге жинақтауға болады.

А	В	А	АВ	АВ	АВ
А	а	Ж	а	а	а
А	ж	Ж	ж	А	ж
Ж	а	А	ж	А	а
Ж	ж	А	ж	ж	а

МЫСАЛ. (((АВ)В)А) формуласының ақиқаттық кестесін құрайық.

А	В	(АВ)	(АВ)	(АВ)В	((АВ)В)А
А	А	ж	А	А	а
А	Ж	а	Ж	Ж	а
Ж	А	ж	А	А	ж
Ж	Ж	ж	А	Ж	а

ФОРМУЛАЛАРДЫ АҚИҚАТТЫҚ КЕСТЕ АРҚЫЛЫ ҚҰРУ.

АНЫҚТАМА.  формуласында кездесетін әріптер болғанда, кез келген  функциясын ақиқаттық функция (немесе интерпретация) деп айттық. Осы функцияға сәйкес  формуласының ақиқаттық мәнін ( Белгілеуі:  ) келесі тәртіппен анықтаймыз.

1.  болса, онда ()  (A₁)

2. Егер     , онда ()  а  () = а және () = а

3. Егер  болса, онда ()  а  ()  ж

4. Егер      , онда ()  ж  () = ж немесе () = ж

5. Егер      , онда ()  ж  () = а және () = ж

Осы анықтаманы төмендегідей кестеге жинақтауға болады.

А	В	А	АВ	АВ	АВ
А	а	Ж	а	а	а
А	ж	Ж	ж	а	ж
Ж	а	А	ж	а	а
Ж	ж	А	ж	ж	а

І.Коньюнкция ережесі. Коньюнкция ақиқат болуы үшін,ондағы әрбір коньюнкция мүшесі (конъюнкт ) ақиқат болуы қажет және жеткілікті.

ІІ.Дизьюнкция ережесі.Дизьюнкция жалған болуы үшін,ондағы әрбір дизьюнкция мүшесі (дизъюнкт) жалған болуы қажетті және жеткілікті.

импликациясындағы формуласы импликацияның себебі,ал формуласы салдары деп аталады.

ІІІ.Импликация ережесі.Импликация жалған болуы үшін оның себебі ақиқат,салдары жалған болуы қажетті және жеткілікті. Бұл ережені басқаша жолмен тағайындауға болады. Импликация ақиқат болуы үшін себебі жалған немесе салдары ақиқат болуы қажетті және жеткілікті.

Бізге 9-ға бөлінетін натурал санның 3 – ке бөлінетіні белгілі. Яғни,

1. (x саны 9-ға бөлінеді)  (x саны 3-ке бөлінеді)

пікірі кез келген x саны үшін ақиқат. Егер бұл пікірде x = 8 деп алсақ, импликацияның салдары мен себебі де жалған, бірақ (1) пікірі әрқашан ақиқат болатынын айттық. Ал x = 6 деп алсақ, импликацияның себебі жалған, ал салдары ақиқат болады, бірақ жоғарыда айтқанымыздай импликация тұтасымен ақиқат болады. Енді импликацияның себебі мен салдарын ауыстырсақ, пайда болған ( саны 3 – ке бөлінеді)  ( саны 9– ға бөлінеді)пікірі саны қалауымызша алынған натурал сандар болғанда жалған пікір. Егер =12 десек, онда (2) импликацияның себебі ақиқат, ал салдары жалған болады. Бұл нәтиже импликацияның ақиқаттық кестесінің екінші жолы да біздің қорыту туралы табиғи түсінігімізге сай болатынын көрсетеді.

( Мінсіз дизъюнктивті қалыпты форма туралы). Кез келген нөлден өзге логика алгебрасының функциясы үшін келесі теңдік орындалады

(МДНФ)

Мысал. функциясына сәйкес МДНФ құрайық. Ол үшін берілген функцияға сәйкес ақиқаттық кесте құрамыз. Формуладағы конъюнкция дизъюнкциядан бұрын орындалатынын ескеру керек.

0	0	0	0	0	1	0	1	1
0	0	0	1	0	1	0	1	1
0	0	1	0	1	1	1	1	1
0	1	0	0	0	1	0	0	0
1	0	0	0	1	0	0	1	1
0	0	1	1	1	1	1	1	1
0	1	0	1	0	1	0	1	1
1	0	0	1	0	1	1	1	1
1	0	1	0	0	0	0	1	1
1	1	0	0	1	0	0	0	0
0	1	1	1	1	1	1	1	1
1	0	1	1	0	0	0	1	1
1	1	0	1	1	1	1	1	1
1	1	1	0	0	0	0	0	0
1	1	1	1	0	1	0	1	1

МДНФ:

.

( Мінсіз конъюнктивті қалыпты форма туралы). Бірден өзге кез келген логика алгебрасының функциясы үшін келесі теңдік орындалады:

(МКНФ).

Мысал. функциясына сәйкес МКНФ құрайық. Ол үшін берілген функцияға сәйкес ақиқаттық кесте құрамыз. Формуладағы конъюнкция дизъюнкциядан бұрын орындалатынын ескеру керек.

0	0	0	0	0	1	0	1	1
0	0	0	1	0	1	0	1	1
0	0	1	0	1	1	1	1	1
0	1	0	0	0	1	0	0	0
1	0	0	0	1	0	0	1	1
0	0	1	1	1	1	1	1	1
0	1	0	1	0	1	0	1	1
1	0	0	1	0	1	1	1	1
1	0	1	0	0	0	0	1	1
1	1	0	0	1	0	0	0	0
0	1	1	1	1	1	1	1	1
1	0	1	1	0	0	0	1	1
1	1	0	1	1	1	1	1	1
1	1	1	0	0	0	0	0	0
1	1	1	1	0	1	0	1	1

МКНФ: .

АНЫҚТАМА. Құрамындағы әріптердің кез келген ақиқаттық мәндерінің орналасуында ақиқаттық мәндері бірдей болатын (ақиқаттық кестелеріндегі соңғы бағандары бірдей)  және  формулалары логикалық эквивалентті( парапар ) формулалар деп аталады. Белгілеуі:   .

Логикалық эквиваленттіліктердің ең маңыздыларын логика заңдары деп атайды.Пікірлер логикасының алгебрасында логика заңдары елеулі қызмет атқарады. Енді осы аталған ұғымдардың дәл анықтамасын берейік.

Логикалық эквивалентті формулаларды анықтау үшін олардың ақиқаттық кестесін құрып,салыстырсақ жеткілікті.. Бірақ, эквивалентті формулаларды анықтау үшін көп жағдайда логика заңдарын қолданған әлдеқайда тиімді.

Төмендегі эквиваленттіліктерді логика заңдары деп атаймыз.

1. (  ) ~  (идемпотенттілік заңы);

2.      (идемпотенттілік заңы );

3. (  )  (  ) (ауыстырымдылық заңы ) ;

4. (  )  (  ) (ауыстырымдылық заңы ) ;

5.          (терімділік заңы ) ;

6.            (терімділік заңы ) ;

7.          (  ) (үлестірімділік заңы ) ;

8. (      (    ) (үлестірімділік заңы ) ;

9.      ,      (сіңіру заңдары) ;

10.     (қос терістеу заңы) ;

11. (  )  , (  )  (Де Морган заңдары);

12. (  )   (тепе-теңдік немесе тавтология заңы) ;

13. (  )   (қайшылық заңы).

Соңғы екі эквиваленттілікті былайша баяндауға болады: Конъюнкцияда тавтологияны, қайшылықты дизъюнкцияда ескермеуге болады.

Логикалық эквиваленттіліктер пікірлер логикасының көптеген формулаларын қарапайым түрге келтіруге мүмкіндік береді.Эквиваленттіліктердің осы қасиеті контактылы реле схемаларын-осы схемаларға эквивалентті қарапайым схемалармен ауыстыруда қолданылады.