4).Салыстырулар және олардың қасиеттері. Эйлер теоремасы. Ферманың кіші теоремасы. Қалдықтар туралы қытай теоремасы. Салыстыру теориясы

Анықтама. а, b Z , N. Егер а және b сандарын m-ге бөлгенде, олардың қалдықтары бірдей болса, онда а және b сандарын модулі бойынша салыстырымды деп айтып, бұл ұғымды арқылы белгілейміз. Бұл бинарлық қатынас рефлексивті, симметриялы және транзитивті, яғни модуль бойынша салыстыру қатынасы эквиваленттік қатынас болады. Бүтін сандар сақинасында, бұл қатынас бойынша табиғи жолмен фактор-сақина анықталады. Оны модулі бойынша қалындылар сақинасы деп атап, Z _m арқылы белгілейміз. Жоғарыдағы анықтамадан салыстыру қатынасының келесі қажетті және жеткілікті шарты шығады:

Демек, болуы үшін a=b+mt теңдігі орындалатындай t бүтін санының табылуы қажетті және жеткілікті.

Қасиет 1. Берілген модул бойынша салыстыруларды мүшелеп қосуға болады.

Қасиет 2. Салыстырудың кез келген жағындағы қосылғышты, оның екінші жағына таңбасын өзгертіп көшіруге болады.

Қасиет 3. Салыстырудың кез келген жағына модулге еселі санды қосуға болады.

Қасиет 4. Берілген модул бойынша екі салыстыруды мүшелеп көбейтуге болады, яғни .

Қасиет 5. Салыстырудың екі жағын да бірдей дәрежеге шығаруға болады, яғни

Қасиет 6. Егер a₀ b₀ (modm), a₁ b₁ (modm),..., a_n b_n (modm), x y(modm), онда a₀ xⁿ +a₁ x^n-1 +...+a_n b₀ yⁿ +b₁ y^n-1 +...+b_n (modm).

Қасиет 7. Салыстырудың екі жағын да модулмен өзара жай болатын олардың ортақ бөлгішіне қысқартуға болады.

Қасиет 8. Салыстырудың екі жағы мен модулді бірдей санға көбейтуге және олардың ортақ бөлгішіне бөлуге болады.

Қасиет 9. Егер a b салыстыруы бірнеше әртүрлі модул бойынша орындалса, онда бұл салыстыру аталған модулдердің ең кіші ортақ еселігі үшін де орындалады.

Қасиет 10. Егер салыстыру m модулі бойынша орындалса, онда ол осы m саныны кез келген бөлгіші d модулі үшін де орындалады.

Қасиет 11. Егер салыстырудың бір жағы мен модулі қандай да бір санға бөлінсе,

Эйлер және Ферма теоремалары. Эйлер функциясы.  . Эйлер функциясы  -   санынан кіші және онымен өзара жай болатын сандарының саны. Эйлер функциясы мультипликативті:   өзара жай   сандар үшін.  санының канондық жазылуы берілсін Онда Эйлер функциясының мәнін  формуласы бойынша есептеуге болады. Эйлер функциясы үшін   Гаусс тепетеңдігі дұрыс болады.  Эйлер теоремасы. Егер   онда  .  Ферма теоремасы. Егер  жай сан және  болатындай  бүтін сан болса, онда   

Қалдықтар туралы қытай теоремасы.

Лемма 1 Егер сандары санымен өзара жай болса, онда саны да санымен өзара жай болады.

Лемма 2 Егер сандары ( ) – санының бөлгіші болсын, онда саны да санының бөлгіші болады.

Теорема (Қалдықтар туралы қытай теоремасы). m₁ ,m₂ ,...,m_k өзара жай сандар және кез келген бүтін сандары үшін салыстырулар жүйесінің аралығында бір ғана шешімі болады.

5).Туындатушы функциялар. Негізгі элементар функциялар және оларға қолданылатын амалдар.

a0, a1, a2, . . . көбейткіш сандардың тізбегі болсын,осы тізбек үшін туындатушы функция келесі түрде болады

немесе

Егер тізбектің кейбір мүшелерінен басқа мүшелері 0-ге тең болса,онда туындатушы функция көпмүшелердің көбейтіндісі түрінде болады.