3. Толық ықтималдықтар формуласы. Байес формулалары.

А-ма: - ықтималдық кеңістік . А – оқиғасы берілген .

Онда 1)

2) ø

шарттарын қанағаттандыратын үшін

(1)

теңдеуі орындалады.(1)- толық ықтималдықтар формуласы .

Жоғарыдағы шарттар орындалғанда (1) формуласымен қатар келесі формулада орындалады

(2)

(2) – Байес формуласы .

Есептер шығарғанда сынақ ж/е А оқиғасы есептің шарттарында беріледі. гипотезаларын сынақтың берілгеніне қарай өзіміз таңдаймыз.

1-м/л.

25 емтихан билеттерінің бесеуі “жақсы ” . Екі студент бір-бір билеттен алады. Екінші студенттің “жақсы ” билет алу ықтималдығын табу керек.

Шешуі: Сынақ- екі студенттің бірінен соң бірі бір-бір билеттен алуы .

Оқиға- А={екінші студенттің “жақсы ” билет алуы }

Гипотезалар ( көмекші оқиғалар ):

={бірінші студенттің “жақсы ” билет алуы }

={ бірінші студенттің “жақсы ” билет алмауы }

- ?

Бұларды толық ықтималдықтар формуласына қоямыз .

, , ,

4. Тәуелсіз оқиғалар. М/лдар.

Н₁ оқиғасының ықтималдығы Р(Н₁)= , ал оның шартты ықтималдығы Р_А(Н₁) болca.

М/л: Сынақ - 36 картадан кездейсоқ біреуін таңдау .

1) таңдалған карта 6-лық болу ықтималдығын табу керек,

2) таңдалған карта қара түсті екені белгілі болса, онда оның 6-лық болу ықтималдығын табу керек.

А={ таңдалған карта 6-лық болуы}

В={ таңдалған карта қара түсті болуы}

Р(А) = Р_В(А) , яғни А оқиғасының шартты, шартсыз ықтималдықтары тең болды.

А-ма: (Ω,F,P)- ықтималдық кеңістік . А ж/е В – оқиғалары беріліп Р(В)>0 болсын. Егер

Р(А) =Р_В(А) болса, онда А оқиғасы В оқиғасынан тәуелсіз дейді .

М/л: А оқиғасы В оқиғасынан тәуелсіз болса, онда В оқиғасы А-дан тәуелсіз екенін дәлелдеу керек.

Сонымен, Р_В(А) = P(A) екендігі беріліп тұр. Бұдан, а-ма бойынша Р_В(А) = екендігін ескерсек,=> =Р(B)

Р_А(В)= Р(В) (**)

Бұдан тәуелсіздік ұғымы симметриялы екені шығады .

Р(АВ) = Р(А)∙Р(В) теңдігіне (*),(**) теңдіктері эквивалентті .

Тәуелділіктің эквиваленттік а-масын келесі түрде де беруге болады .

(Ω,F,P)- ықтималдық кеңістік . А ж/е В – оқиғалары берілген. Егер Р(АВ) =Р(А)∙Р(В) орындалса , онда А , В оқиғалары ӛзара тәуелсіз деп аталады.

5. Бернулли схемасы. Бернулли формул-ы. Муавр–Лаплас теор-ы. Пуассон жуықтау формуласы.

Екі қарапайым нәтижесі бар сынақ берілсін, яғни екі элементар оқиғасы бар. Бір элементар оқиғаны «1» арқылы белгілеп, «табыс» деп аталсын. Екінші оқиғаны «0» арқылы белгілеп, «сәтсіздік» деп аталсын. Сонда элементар оқиғалар кеңістігі Ω={0;1}

P(1)=p (1)

P(0)=q, (0<p<1, q=1-p)

p саны табыс ықтималдығы деп, ал q – сәтсіздік деп аталады. (1) сынағын n рет тәуелсіз қайталау моделі:

ᴒ={ω=(a_1… a_n):a_i=0 н/е 1}

P(ω=( a_1, a_2… a_n))=P(c):..P (a₂):..P(a_n)=p^a₁^+a₂^+…a_n∙q^n-(a₁^+a₂^+…a_n) (2) моделін Бернулли схемасы д.а.. Сонымен Бернулли схемасы д-з – екі нәтижелі сынақты n рет тәуелсіз қайталаудың моделі.

Т-ма. (Бернулли формулалары). (2) моделіндегі әрбір ω=( элементар оқиғасы үшін болсын(табыстар саны). Онда ω= (a_1… a_n) (3) үшін (n рет тәуелсіз қайталағанда дәл рет табыс шығуының ықтималдығы) үшін(n рет тәуелсіз қайталағанда шыққан табыстар саны арасында болуының ықтималдығы)

М/л.Тиынды бес рет лақтырғанда үш рет гербтің түсу ықтималдығын табыңыз.

Шешуі. ЕНС моделі – тиынды бір лақтыру

Ω={0;1} «1» - «герб» «0» - «цифр»

Қайталау саны n=5

Табыстар саны

Онда (3) бойынша P₅(3)=C³₅∙( )³∙ ( )⁵= =

Бернулли схемасындағы ең ықтимал табыс саны

Бернулли схемасы үшін тәжірибені n рет қайталған кезде дәл k рет табыс болу ( оқиғасы) ықтималдылықтарының жиынтығы биномдық үлестірім (Көлемі n-ге тең таңдамадағы табыс санының биномдық үлестірімі) деп аталады.

А-ма. k-ның функциясы ретінде ықтималдылығы ең үлкен мәнін қабылдайтын мәні ықтималды табыс саны деп аталады. А-мадан ж/е жоғарыда айтылғандардан мынадай қорытынды шығады: Егер (n+1)p бүтін сан болмаса,онда , мұндағы санының бүтін бөлігі; Егер де (n+1)p бүтін сан болса, онда ең ықтимал табыс саны екеу. ж/е Бернуллидің тәуелсіз сынақтар тізбегі үшін:

а)бірде-бір рет табыс болмау;

б) оның математикалық күтімін есептеуге қысқаша формула қорыту

в) оның  дисперсиясын есептеуге қысқаша формула қорыту

Р-ның мәні 0-ге не 1-ге мейлінше жуық болмағанда ж/е жағдайда Лаплас формуласының жуық асимптотикалық формула болатынын көрдік. болған жағдайдың ерекше мәні бар. Бұл жағдайда мына т-ма орын алады.

Пуассон т-масы. А оқиғасының әрбір сынауда пайда болу ықтималдығы болса ( -тұрақты ж/е п-нен тәуелсіз), онда өзара тәуелсіз п сынаудан құрылған серияда А оқиғасының дәл т рет пайда болу ықтималдығы

яғни ; мұндағы .

Бұл асимптотикалық формула өте сирек пайда болатын оқиғаларға тән заң. Мұны Пуассон формуласы н/е Пуассон заңы д.а..