13. Қос интегралдаудың негізгі қасиет-рі. Қос интегралдауда ж/е үш еселі интегралдауда айнымалыны ауыстыру.

Түйық сызықпен қоршалған , жазықтығында жатқан D облысында анықталған үздіксіз функцияны қарастырайық. 0сы облысын n бөлшектерге бөлеміз, ол бөлшектерінің аудандарын деп белгілейік. Әрбір бөлшек ішінде жатқан кез келген нүктені алайық , осы нүктелерге сәйкес функция мәндерін есептеп интегралдық қосындыны құрайық.

осы өрнектің шегі, егер , бір тиянақты шекке ұмтылса , онда ол шекті қос интеграл деп атайды, яғни

Қос интегралдың қасиеттері.

а) тұрақты көбейткішті интеграл белгісінің сыртына шығаруға болады .

б) ж/е функциялардың қосындысының интегралы интегралдар қосындысына тең, яғни

в) Егер интегралдау D облысы екі D₁, ж/е D₂ облысынан құралатын болса, онда

.

Қос интегралдауда ж/е үш еселі интегралдауда айнымалыны ауыстыру.

Екі еселі интеграл қарастырайық.f(x,y) функциясы шенелген тұйық D аймағында үзіліссіз. (8.4) формулалары арқылы жаңа u ж/е v аргументтеріне көшіп (8.4) теңдеулер жүйесінен деп есептеп, u=u(x,y),v=v(x,y)(8.5) функциялары анықталады. нүктесіне u,v координаттар жазықтығында нүктесі сәйкес келеді. Онда (8.4) формуласындағы функциялардың дербес туындылары бар болады да, мына анықтауыш , сонда (8.6) теңдігі орындалады. J(u,v)-ны x=x(u,v),y=y(u,v) функцияларының Якобинаны деп атайды. Егер (8.4) формуладан полярлық координаталарға көшетін болсақ, яғни (8.7) деп алсақ, онда, (8.7) алмастыруының Якобианы екенін ескеріп,

(8.8) теңдігіне келеміз.

Үш еселі интегралдауда айнымалыны ауыстыру.

1)Кеңістіктегі қисық сызықты координаттар.

V мен V^’ аймақтары нүктелерінің арасында бір мәнді ж/е үзіліссіз сәйкестік бар болсын. Сонымен бірге тура сәйкестік

(8.10)

ф ормулаларымен анықталып, кері сәйкестік

9-сурет

(8.11)

формуларымен анықталсын. (8.10) ж/е (8.11) функцияларының өздері де, бірінші ретті дербес туындылары да үзіліссіз деп жориық. Сонда үзіліссіз якобиандар мен бар болады.

=

14. Бірінші ж/е екінші текті қисық сызықты интегралдар.

Бірінші текті қисық сызықты интеграл.Үзіліссіз функциясының бөлікті – тегіс L қисығы бойынша бірінші ретті қисық сызықты интегралы деп мына шекті айтады: (1)мұндағы Ɐ тәсілмен қисықты бөлгендегі бөлікшенің (доғаның) ұзындығы, бөлікшенің кез – келген нүктесі, dl доғаның дифференциалы. Андан тікелей

(2) теңдіктері шығады. Бірінші текті қисық сызықты интегралды есептеу анықталған интегралды есептеуге келтіріледі. Егер қисық параметрлік түрде берілсе ж/е функциялар осы аралықта үзіліссіз болса, онда

(3) . Егер қисық теңдеуімен берілсе ж/е функциялар осы аралықта үзіліссіз болса, онда (4). Егер қисық ж/е туынды кесіндіде үзіліссіз болса, онда мына формула орынды: (5)

Кеңістіктегі тегіс қисық параметрлік теңдеулермен берілсе, әрі функциялары кесіндісінде үзіліссіз болса, онда мына формула орынды: (6)

(1) теңдік жуықтап есептеулерде, ал (2) доғаның ұзындығын есептеуде қолданылады. Бірінші текті қисық сызықты интегралдар үшін анықталған интегралдың негізгі қасиеттері орындалады.

Екінші текті жалпы түрдегі қисық сызықты интеграл. есептеу. Бағытталған қисық бойынша екінші текті интегралдар , н/е жалпы түрінде белгіленеді. Олар анықталған интегралдарға келтіру жолымен есептеледі. Мұнда қисықтың бағыты өзгерсе, интегралдың мәні қарама-қарсы таңбға өзгереді, яғни

ж/е функциялары - қисықта үзіліссіз функциялар.Егер қисық ж/е туынды кесіндіде үзіліссіз болса, онда

Егер қисық ж/е туынды кесіндіде үзіліссіз болса, онда

Егер қисық параметрлік теңдеулермен берілсе ж/е туындылар осы аралықта үзіліссіз болса, онда

Кеңістіктегі тегіс қисық параметр лік теңдеулермен берілсе онда мына формула орындалады.

Мұндағы функциялары қисықта үзіліссіз функциялар. Екінші текті қисық сызықты интеграл үшін анықталған интегралдың негізгі қасиеттері орынды.