Производная равна нулю в точках экстремума. Ответ:425. Задание (№ 27485)

Прямая     параллельна касательной к графику функции  . Найдите абсциссу точки касания.

Необходимо найти X₁ точки с координатами (X₁;Y₁)

Касательная к функции параллельна , значит её формула

y=7x+n.

Производная квадратичной функции в точке X₁ равна коэффициэнту k при x в функции y=7х+n (то есть 7)

Берём производную и приравниваем её к семи.

2x+6=7

2х=1

x=0.5

X₁=0.5

26.Задание 8 (№ 27486)

Прямая   является касательной к графику функции  . Найдите абсциссу точки касания.

Необходимо найти абсциссу точки (X₁;Y₁)

Производная кубической функции в точке X₁ равна коэффициэнту k при x в функции

y=-4х-11 (то есть -4)

Значит 3x²+14x+7=-4

3x²+14x+11=0

D=196-132=64=8*8

X₁=(-14+8)/6=-6/6=-1

X₂=(-14-8)/6=-22/6 –это значение не подходит по формату записи ответов в ЕГЭ

Подставляем X₁ в оба уравнения

y=-4*(-1)-11=4-11=-7

y= (-1)³+7*(-1)²+7*(-1)-6=-1+7-7-6=-7

Функции равны в точке X₁

Значит искомая нами абсцисса равна -1

27.Задание 8 (№ 27487)

На рисунке изображен график функции  , определенной на интервале  . Определите количество целых точек, в которых производная функции положительна.

Производная положительна при возрастании функции

Выделим целые точки на оси х где функция возрастает

Это -2;-1;5;6. Всего 4 целых точки

28. Задание 8 (№ 27488)

На рисунке изображен график функции  , определенной на интервале  . Определите количество целых точек, в которых производная функции   отрицательна.

Производная положительна при убывании функции

Выделим целые точки на оси х, где функция убывает

Это точки -4;-3;-2;-1;0;1;3;4. Всего 8 целых точек

29. Задание 8 (№ 27489)

На рисунке изображен график функции  , определенной на интервале  . Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой   или совпадает с ней.

y =6 – прямая параллельная оси OX

Касательные к графику параллельны оси ОХ ,когда они касаются точек экстремума (коэффициент k у прямой y=k*x+n должна быть равна нулю, и этот же коэффициент равен производной в этой точке, а при производной равной нулю точка-экстремум)

Посчитаем сколько точек экстремума у функции, это и есть наш ответ.

Таких точек 4, ответ: 4

30.(№ 27490)

Н а рисунке изображен график функции  , определенной на интервале  . Найдите сумму точек экстремумов функции  .Суммой точек экстремума называется сумма абсцисс, координат точек экстремума

У нас 7 точек

Складываем их абсциссы

1+2+4+7+9+10+11=44

Ответ:44

37. На рисунке изображен график функции y=f(x) и отмечены точки -2, -1, 1, 2. В какой из этих точек значение производной наибольшее? В ответе укажите эту точку.

Нам известно, что если функция возрастает, то производная положительна, а если функция убывает, то производная отрицательна. Отсюда можем сделать вывод, что точки -1 и 1 не подходят. f’(x)=k=tg α,следовательно, необходимо сравнить угол наклона к оси ОХ в точке -2 и 2. Построив касательные, увидим, что в точке -2 угол больше, значит, в этой точке производная принимает наибольшее значение.

Ответ: -2

38. На рисунке изображен график функции y=f(x) и отмечены точки -2, -1, 1, 4. В какой из этих точек значение производной наименьшее? В ответе укажите эту точку.

Нам известно, что если функция возрастает, то производная положительна, а если функция убывает, то производная отрицательна. Делаем вывод, что точки -2 и 1 не подходят. . f’(x)=k=tg α,следовательно, необходимо сравнить тангенсы углов наклона к оси ОХ в точке -1 и 4. Построив касательные, увидим, что в точке 4 угол меньше, значит, в этой точке производная принимает наименьшее значение

.

Ответ: 4

39. На рисунке изображён график функции y=F(x) — одной из первообразных некоторой функции f(x), определённой на интервале (-3;5). Пользуясь рисунком, определите количество решений уравнения f(x)=0 на отрезке [-2;4].

F(x) первообразная для f’(x), если F’(x) = f(x). По условию f(x)=0 => F’(x) =0. А это значит, что надо посмотреть количество экстремумов данной функции на заданном интервале.

Ответ: 10

40. На рисунке изображён график функции y=f(x) (два луча с общей начальной точкой). Пользуясь рисунком, вычислите F(8)-F(2), где F(x) — одна из первообразных функции f(x).

Для данной задачи нам необходимо будет вычислить площадь фигура на рисунке на указанном интервале. Получается, что площадь трапеции будет равна:

Ответ: 7

41. На рисунке изображён график некоторой функции y=f(x). Функция — одна из первообразных функции f(x). Найдите площадь закрашенной фигуры.

Для решения данной задачи необходимо знать, что определенный интеграл равен площади закрашенной фигуры.

 

 

 

42. На ри­сун­ке изоб­ражён гра­фик не­ко­то­рой функ­ции . Функ­ция   — одна из пер­во­об­раз­ных функ­ции  . Най­ди­те пло­щадь за­кра­шен­ной фи­гу­ры.

 

Для решения данной задачи необходимо знать, что определенный интеграл равен площади закрашенной фигуры. 4

Ответ:4