12. Прототип задания 8 (№ 317542)

На рисунке изображён график   — производной функции  . На оси абсцисс отмечено восемь точек:  ,  ,  ,  ,  . Сколько из этих точек лежит на промежутках убывания функции  ?

Чтобы определить промежуток убывания функции по графику ее производной, надо найти промежуток, на котором производная меньше нуля То есть , нам необходимо выделить все точки, которые лежат НИЖЕ оси OX, а это x₁;x₂;x₃;x₄;x₈ => Ответ : 5

13. Задание 8 (№ 27498)

На рисунке изображен график   — производной функции  , определенной на интервале  . Найдите промежутки убывания функции  . В ответе укажите сумму целых точек, входящих в эти промежутки.

Х од решения:

Про­ме­жут­ки убы­ва­ния функ­ции f(x) со­от­вет­ству­ют про­ме­жут­кам, на ко­то­рых про­из­вод­ная функ­ции от­ри­ца­тель­на (график производной лежит ниже оси ОХ), то есть ин­тер­ва­лу (−2,5; 6,5). Дан­ный ин­тер­вал со­дер­жит сле­ду­ю­щие целые точки: –2, –1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6. Чтобы найти ответ на задание необходимо сложить эти точки.

-2+(-1)+0+1+2+3+4+5+6=18

Ответ: 18.

14. Задание 8 (№ 27499) На рисунке изображен график — производной функции , определенной на интервале . Найдите промежутки возрастания функции . В ответе укажите длину наибольшего из них.

Х од решения:

Про­ме­жут­ки воз­рас­та­ния функ­ции f(x) со­от­вет­ству­ют про­ме­жут­кам, на ко­то­рых про­из­вод­ная функ­ции по­ло­жи­тель­на(график производной лежит выше оси ОХ),, то есть ин­тер­ва­лам (−11; −10), (−7; −1), (2; 3). Находим наибольший из них. Наибольшему соответствует интервал (-7:-1),длина которого 6.

Ответ: 6

15.Задание 8 (№ 27500)

На рисунке изображен график   — производной функции  , определенной на интервале  . Найдите промежутки убывания функции  . В ответе укажите длину наибольшего из них.

х од решения:

Про­ме­жут­ки убы­ва­ния функ­ции f(x) со­от­вет­ству­ют про­ме­жут­кам, на ко­то­рых про­из­вод­ная функ­ции от­ри­ца­тель­на, то есть ин­тер­ва­лам (−1; 5) дли­ной 6 и (7; 11) дли­ной 4. Длина наи­боль­ше­го из них 6.

Ответ: 6

16. Задание 8 (№ 27501)

На рисунке изображен график   — производной функции  , определенной на интервале  . Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции  параллельна прямой   или совпадает с ней.

Ход решения: Зна­че­ние про­из­вод­ной в точке ка­са­ния равно уг­ло­во­му ко­эф­фи­ци­ен­ту ка­са­тель­ной. По­сколь­ку ка­са­тель­ная па­рал­лель­на пря­мой y = −2x − 11 или сов­па­да­ет с ней, их уг­ло­вые ко­эф­фи­ци­ен­ты равны –2. Теперь нам необходимо найти ко­ли­че­ство точек, в ко­то­рых y'(x₀) = −2, это со­от­вет­ству­ет ко­ли­че­ству точек пе­ре­се­че­ния гра­фи­ка про­из­вод­ной с пря­мой y = −2. На дан­ном ин­тер­ва­ле таких точек 5.

Ответ: 5

17. Задание 8 (№ 27499)

На рисунке изображен график   — производной функции  , определенной на интервале  . Найдите точку экстремума функции  , принадлежащую отрезку  .

Х од решения:

Если про­из­вод­ная в не­ко­то­рой точке равна нулю, а в ее окрест­но­сти ме­ня­ет знак, то это точка экс­тре­му­ма. На от­рез­ке [–2; 6] гра­фик про­из­вод­ной пе­ре­се­ка­ет ось абс­цисс, про­из­вод­ная ме­ня­ет знак с плюса на минус. Значит, точка 4 яв­ля­ет­ся точ­кой экс­тре­му­ма.

Ответ: 4