3. Теорія стійкості
3.1 Аудиторне заняття
Користуючись означенням дослідити на стійкість розв’язок задачі Коші (стійкий, асимптотично стійкий чи нестійкий).
а)
Відповідь: нестійкий.
б)
Відповідь: асимптотично стійкий.
в)
Відповідь:
стійкий.
Знайти всі точки спокою автономної системи
. Відповідь:
(9;4), (4;9).
При яких значеннях параметру
точка спокою (0; 0) системи
відноситься до вказаного типу:
1) стійкий вузол; 2) нестійкий вузол; 3) сідло; 4) стійкий фокус; 5) нестійкий фокус; 6) центр; 7) стійкий вироджений вузол; 8) нестійкий вироджений вузол.
Відповідь:
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
Дослідити на стійкість за допомогою функції Ляпунова точку спокою (0; 0) системи:
1)
2)
3)
4)
Довідка: функцію Ляпунова підбирайте у вигляді
.
Відповідь:
1) асимптотично стійка,
2)
стійка,
3) стійка,
4)
нестійка,
Дослідити на стійкість за першим наближенням точку спокою (0; 0) системи:
.
Довідка: для отримання першого наближення системи використайте наступні розвинення функцій в ряди:
;
;
;
;
;
Відповідь: нестійка.
3.2 Варіанти індивідуальних завдань
1. Користуючись означенням дослідити на стійкість розв’язок задачі Коші (стійкий, асимптотично стійкий чи нестійкий).
.
2.
.
3.
.
4.
.
5.
.
6.
.
7.
.
8.
.
9.
.
10.
.
11.
.
12.
.
13.
.
14.
.
15.
.
16.
.
17.
.
18.
.
19.
.
20.
.
21.
.
22.
.
23.
.
24.
.
25.
.
26.
.
27.
.
28.
.
29.
.
30.
.
2. Знайти всі точки спокою автономної системи:
1.
.
2.
.
3.
.
4.
.
5.
.
6.
.
7.
.
8.
.
9.
.
10.
.
11.
.
12.
.
13.
14.
.
15.
.
16.
.
17.
.
18.
.
19.
.
20.
.
21.
.
22.
.
23.
.
24.
.
25.
.
26.
.
27.
.
28.
.
29.
.
30.
.
3. Встановити характер точки спокою (0; 0) системи та зобразити фазові траєкторії в околі цієї точки:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
4. При яких значеннях параметру точка спокою (0; 0) системи відноситься до вказаного типу:
1.
,
стійкий вузол.
2.
,
нестійкий вузол.
3.
,
сідло.
4. , стійкий фокус.
5.
,
нестійкий фокус.
6.
,
нестійкий вузол.
7.
,
центр.
8.
,
сідло.
9.
,
стійкий вироджений вузол.
10.
,
нестійкий вироджений вузол.
11.
,
стійкий вузол.
12.
,
нестійкий вузол.
13.
,
сідло.
14.
,
стійкий фокус.
15.
,
стійкий вузол.
16.
,
сідло.
17.
,
стійкий фокус.
18. , нестійкий фокус.
19.
,
центр.
20.
,
стійкий вироджений вузол.
21.
,
нестійкий вироджений вузол.
22.
,
нестійкий вузол.
23.
,
стійкий вузол.
24.
,
стійкий фокус.
25.
,
центр.
26.
,
стійкий вироджений вузол.
27.
,
нестійкий вироджений вузол.
28.
,
стійкий вузол.
29. , нестійкий фокус.
30. , нестійкий вузол.
5. Дослідити на стійкість за допомогою функції Ляпунова точку спокою (0; 0) системи:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
6. Дослідити на стійкість за першим наближенням точку спокою (0; 0) системи:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
